贪心的小on

赛时没想出来，一坨 T_T。

首先，我们需要明确什么样的区间满足“三角洲法则”。对于一个区间 \([l, r]\)，\(a[l]\) 可以直接选，因为它左边没有方块。\(a[l+1]\) 需要满足 \(a[l+1] ≥ a[l]\)。\(a[l+2]\) 需要满足 \(a[l+2] ≥ a[l] + a[l+1]\)。以此类推，\(a[i]\) 需要满足 \(a[i] ≥ sum(a[l..i-1])\)。

这意味着，区间的和增长得非常快，因为每个后续元素必须至少等于前面所有元素的和。因此，满足条件的区间通常不会很长。

我们需要选择一些不相邻的区间，最大化总价值。这类似于经典的“不相邻子序列和”问题，但这里的子序列是满足“三角洲法则”的区间。

我们可以用动态规划来解决这个问题：

定义 \(dp[i]\) 表示前 \(i\) 个方块能获得的最大价值。
对于第 \(i\) 个方块，我们有两种选择：

1. 不选 \(a[i]\)，那么 \(dp[i] = dp[i-1]\)。
2. 选 \(a[i]\)，那么我们需要找到一个区间 \([j, i]\) 满足“三角洲法则”，并且 \(j\) 不能和之前选的区间相邻。此时 \(dp[i] = dp[j-2] + sum(a[j..i])\)（因为 \(j-1\) 不能选）。

然而，直接这样计算会非常耗时，因为我们需要检查所有可能的 \(j\)。我们需要优化。

对于一个满足“三角洲法则”的区间 \([j, i]\)，\(a[j]\) 可以直接选。

• \(a[j+1] ≥ a[j]\)。
• \(a[j+2] ≥ a[j] + a[j+1]\)。
• \(a[j+3] ≥ a[j] + a[j+1] + a[j+2]\)。
• ...
• \(a[i] ≥ sum(a[j..i-1])\)。

可以发现，这样的区间和增长得非常快，类似于斐波那契数列。因此，满足条件的区间长度通常不会很大（因为 \(a[i]\) 是指数级增长的，而 \(a[i]\) 的值是有限的）。

具体来说，对于一个区间 \([j, i]\)，如果 \(sum(a[j..i])\) 超过了 \(10^9\)，那么这样的区间就不可能继续扩展了（因为 \(a[i+1]\) 必须 \(≥ sum(a[j..i])\)，而 \(a[i+1] ≤ 10^9\)）。因此，满足条件的区间长度最多是 \(O(\log 10^9) ≈ 30\)。

基于上述观察，我们可以优化动态规划：

• 对于每个 \(i\)，我们只需要检查最多 \(O(\log 10^9)\) 个可能的 \(j\)（即 \(i-1, i-2, ..., i-30\)），因为更远的 \(j\) 不可能满足 \(sum(a[j..i]) ≤ 10^9\)。
• 对于每个 \(j\)，检查 \([j, i]\) 是否满足“三角洲法则”时，可以预处理前缀和 \(sum[j..i]\)，并检查 \(a[k] ≥ sum[j..k-1]\) 对于所有 \(k ∈ [j+1, i]\)。
• 如果 \([j, i]\) 满足条件，那么 \(dp[i] = \max(dp[i], dp[j-2] + sum[j..i])\)（因为 \(j-1\) 不能选）。
• 同时，\(dp[i]\) 也可以从 \(dp[i-1]\) 转移（不选 \(a[i]\)）。