复数的复习

理解复数，首先要理解虚数，在实数范围内，负数开方无解，于是引入虚数的概念，虚数i²=-1，实数与虚数组成的数叫复数。

形式：a+bi，a为实部，b为虚部，i为虚数单位，这样实数可以看做虚部为0的复数，虚数可以看做实部为0的复数。

 

虚数的几何解释

假设我们有一个坐标系，横轴为实数，纵轴为虚数，将i想象成沿坐标轴逆时针旋转90°，如下图

实数1经过一次90°旋转结果为i，再旋转90°结果为-1。

如果是顺时针旋转，如图可知，旋转-90°得到-i，再旋转-90°结果-1，与逆时针结果相同，由此可知，sqrt(-1)=+i/-i

根据以上图示，可以很容易推导出iⁿ按照以下规律循环

1，i，i²，i³，i⁴，i⁵，…

1 = 1

i= i

i² = -1

i³ = -i

i⁴ = 1

i⁵ = i

复数的几何解释，有了以上虚数的解释，复数就好理解了，1+i在坐标系中如下图

其表示的向量(1,i)与横轴夹角为45°

那么可以很容易理解a+bi

那么a+bi到底代表多大数值？我们使用其与原点的距离作为复数的值，即

S =sqrt(a²+b²)

复数相乘几何意义为旋转

假设有一复数3+4i，将其逆时针旋转45°，1+i为45°，那么量复数相乘结果为

(3+4i)*(1+i) = -1 + 7i

如下图

复数四则运算法则

加法：(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i

减法：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

乘法：(a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

除法：(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c²+d²) + (bc-ad)/(c²+d²)i

 

欧拉公式  = cos(x) + isin(x)

 

参考资料

http://blog.sciencenet.cn/blog-781910-633671.html

https://betterexplained.com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers

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