复数的复习

理解复数,首先要理解虚数,在实数范围内,负数开方无解,于是引入虚数的概念,虚数i2=-1,实数与虚数组成的数叫复数。

形式:a+bi,a为实部,b为虚部,i为虚数单位,这样实数可以看做虚部为0的复数,虚数可以看做实部为0的复数。

 

虚数的几何解释

假设我们有一个坐标系,横轴为实数,纵轴为虚数,将i想象成沿坐标轴逆时针旋转90°,如下图

实数1经过一次90°旋转结果为i,再旋转90°结果为-1。

如果是顺时针旋转,如图可知,旋转-90°得到-i,再旋转-90°结果-1,与逆时针结果相同,由此可知,sqrt(-1)=+i/-i

根据以上图示,可以很容易推导出in按照以下规律循环

1,i,i2,i3,i4,i5,…

1 = 1

i= i

i2 = -1

i3 = -i

i4 = 1

i5 = i

复数的几何解释,有了以上虚数的解释,复数就好理解了,1+i在坐标系中如下图

其表示的向量(1,i)与横轴夹角为45°

那么可以很容易理解a+bi

那么a+bi到底代表多大数值?我们使用其与原点的距离作为复数的值,即

S =sqrt(a2+b2)

复数相乘几何意义为旋转

假设有一复数3+4i,将其逆时针旋转45°,1+i为45°,那么量复数相乘结果为

(3+4i)*(1+i) = -1 + 7i

如下图

复数四则运算法则

加法:(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i

减法:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

乘法:(a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

除法:(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c2+d2) + (bc-ad)/(c2+d2)i

 

欧拉公式  = cos(x) + isin(x)

 

参考资料

http://blog.sciencenet.cn/blog-781910-633671.html

https://betterexplained.com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers

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posted @ 2016-08-16 09:50 sunny_王 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏