标记永久化学习笔记

标记永久化是线段树的另一种写法，顾名思义，就是让懒标记永久作用于结点而不下传。

回顾下传懒标记的写法，结点的懒标记作用于其管辖的范围。换句话说，所有子孙结点都会被该懒标记作用恰好一次。在进入下一层时，我们先将父亲的懒标记作用于儿子，再将父亲的懒标记和儿子的懒标记合并。因为同层的懒标记需要合并，所以操作必须满足结合律。

既然懒标记是逐层传递的，那么之前肯定经过了儿子的所有祖先，也就是所有能影响到儿子的结点。我们不妨在查询的时候事先统计出当前懒标记对查询区间的影响，这样就不需要下传懒标记了。但前提是操作不仅要满足结合律，还要满足交换律，因为无法按先后顺序处理懒标记。