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首先可以想到尝试使用扫描线，只需对每个 \(r\) 求出最优的 \(l\) 即可。

先假设没有 \(k\) 次修改机会。考虑令 \(a_i = g_i - w_i, b_i = g_i - w_{i - 1}\)，即向右 / 向左走时经过点 \(i\) 油量的增量。

记 \(a, b\) 的前缀和分别为 \(S_i, T_i\)，于是有：

\[\begin{aligned} \forall i \in [l, r - 1], \sum_{j = l}^{i} a_j \ge 0 &\iff S_{i} \ge S_{l - 1} \\ \forall i \in [l + 1, r], \sum_{j = i}^{r} b_j \ge 0 &\iff T_{i - 1} \le T_{r} \end{aligned} \]

第二个条件即 \(\forall i \in [l, r - 1], T_i \le T_r\)。

现在我们考虑修改。显然最优的修改方案是把所有 \(k\) 次都用在 \([l, r]\) 区间内。考虑将 \(g_i + 1\) 带来的变化，即 \(S, T\) 数组后缀 \([i, n]\) 加 \(1\)。于是我们要求的就是对每个 \(r\)，进行 \(k\) 次这样的后缀加后能得到的最远的 \(l\)。

设 \(r\) 左侧第一个 \(T_i \gt T_r\) 的 \(i\) 为 \(lef_r\)，则根据第二个限制，\(l \in (lef_r, r]\)，显然我们为了让 \(l\) 更远需要贪心地使 \(lef_r\) 左移，而对于一个 \(lef_r\)，左移的代价是 \(T_{lef_r} - T_r\) 次操作（这些操作只需满足 \(i \in (lef_r, r]\) 即可）。注意到进行这些操作后 \(T_r\) 就变成了原本的 \(T_{lef_r}\)，以此类推，我们可以得出最远能扩展到的 \(lef_r\) 是最小的 \(i\)，使得 \(T_i - T_{r} \le k\)。可以看出我们扩展的过程相当于单调栈弹栈的过程，所以直接在 \(r\) 处的单调栈上二分即可。

再考虑第一个限制，假设 \(r\) 处的单调栈为 \(sta_1, sta_2, \dotsb, sta_{k}\)，其中 \(sta_k = r\)，假如答案 \(l\) 在 \([sta_i + 1, sta_{i + 1}]\) 区间里，则 \(S_{l - 1}\) 需满足 \(S_{l - 1} = \min_\limits{j = l - 1}^{r - 1} S_j\)，那么显然之前将 \(lef_r\) 向左扩展直到 \(sta_i\) 的所有操作都可以贪心地向左放（因为这样可以保证 \([l, r - 1]\) 的 \(S\) 增加得更多），也就是说，\(lef_r\) 从 \(sta_{j + 1}\) 扩展到 \(sta_{j}\) 的时候，我们可以将 \(T_{sta_{j}} - T_{sta_{j + 1}}\) 次操作都放在 \(sta_{j} + 1\) 处完成。

但是 \(S\) 的这些后缀加不好维护（需要一边扩展 \(lef_r\) 一边进行这些修改），所以我们考虑把 \(S\) 数组 \([i, n]\) 的后缀加 1 变成 \([1, i - 1]\) 的前缀减 1。注意到这样对于 \(sta_{1 \sim i - 1}\)，其对前缀的改变就不会影响到我们判定 \(S_{l - 1} = \min_\limits{j = l - 1}^{r - 1} S_j\) 了（可以画个图手搓一下这部分，可能比较难理解）。于是前一段提到的贪心策略变成了每次将前缀 \([1, sta_{j}]\) 减去 \(T_{sta_j} - T_{sta_{j - 1}}\)。

注意到我们可以在维护 \(r\) 处的单调栈的同时进行这些修改，每次向栈里插入一个元素就进行上述前缀减，弹出则取消这部分贡献即可。用线段树维护进行这些修改后的 \(S\) 数组，记为 \(S_0\)。

接下来考虑怎么求 \(l\)，假设 \(l \in [sta_i + 1, sta_{i + 1}]\)，将 \(lef_r\) 扩展到 \(sta_{i}\) 后剩下了 \(k_0\) 次操作，那么显然最优的方案是对 \([1, l - 1]\) 进行 \(k_0\) 次前缀减，注意到此时 \(S_{l - 1}\) 一定是被减了恰好 \(k\)，所以只需判断 \(S_{0}[l - 1] = S_{l - 1} - k \le \min_\limits{j = l}^{r - 1} S_0[j]\) 即可。

形式化地，我们需要维护一个数组 \(S_0\)，再给定一个数组 \(S\)，支持 \(S_0\) 前缀加、查询最小的满足 \(-S_{l - 1} + \min_\limits{j = l}^{r - 1} S_0[j] \ge -k\) 的 \(l\)。于是这就转化成了单侧递归线段树能维护的模型。

代码咕了.jpg