CF1470F

对于这两个矩形的相对位置只有三种情况：

（1）相离，那么分为上下相离和左右相离两种，只考虑左右，那么左边矩形的右边界一定是将 \(x\) 坐标离散化后某个 \(x_i\)，右矩形的左边界则是 \(x_{i+1}\)，那么直接预处理前后缀 \(\min y, \max y\) 即可，复杂度是 \(O(n)\)。

（2）交叉，那么横着的矩形左右边界是最小 / 最大的 \(x\)（记为 \(Lx,Rx\)），竖着的上下边界是 \(Ly,Ry\)，考虑枚举竖着的左边界 \(l\)，对于一个右边界 \(r\)，答案为

\[(x_r-x_l) \times (Ry-Ly) + [\max(\max_{i=1}^{l-1}y_i, \max_{i=r+1}^{n} y_i) - \min(\min_{i=1}^{l-1}y_i, \min_{i=r+1}^{n} y_i)] \times (Rx-Lx) \]

对每个 \(i\) 预处理 \(\text{prefix max / min } y_j\)，由于 \(Lx,Rx,Ly,Ry\) 都是常量，只需维护形如 \(C_1 \times x_r + C_2 \times (v_{1,r} - v_{2,r})\)，每次扫到 \(l\) 是全局 \(v_1\) 取 \(\max\)，\(v_2\) 取 \(\min\)，注意到随 \(l\) 递增这个修改量是单调的，同时对于降序的 \(r\) 它们的后缀 \(\max / \min\) 是单调的，所以可以线段树二分区间赋值，然后维护区间最值即可，复杂度是 \(O(n \log n)\)。

（3）角落重叠，那么分为左下和右上、左上和右下两种情况，这里只考虑左下右上，那么左下的左下角和最小的能覆盖整个点集的矩形的左下角重合，右上的右上角和其右上角重合（草），考虑枚举左下角矩形的右边界 \(l\)，设右上矩形左边界为 \(r\)（注意这里 \(r \le l\)（草）），先预处理前缀 \(y\) 的 \(\max\) 和后缀 \(y\) 的 \(\min\)，由于需要满足矩形相交，所以一个 \(l\) 对应了一段区间的 \(r\)（前缀 \(\max\) 和后缀 \(\min\) 相当于是这两个矩形的上下边界）。考虑 \(r\) 的贡献，即

\[(Ry-\min_{i=l+1}^{n} y_i) \times (Rx - x_r) + (\max_{i=1}^{r-1} y_i - Ly) \times (x_l - Lx) \]

这个形如 \(A_r \times x_l + B_r \times y_l\)，那么我们可以对每个 \(r\) 维护函数 \(y = B_r x + A_r\)，每次即求 \(x = \dfrac{y_l}{x_l}\) 处的最值，所以我们要支持的就是区间查询 \(x\) 处的一次函数最值，这可以使用线段树套李超树在 \(O(n \log^2 n)\) 时间 \(O(n \log n)\) 空间内完成（注意李超树的空间是 \(O(n)\) 的。）

于是可以 \(O(n \log^2 n)\)。

bonus：区间凸包也可以使用 P3309 向量集 的做法，具体来讲就是线段树上用 vector 存区间凸包（，时空复杂度都是一样的。