斜率优化笔记

updated 2022.3.12:
把一堆代码块删了，换成了测评记录 顺眼多了（

设 \(f_i\) 是前 \(i\) 个都装好的最小花费.

\[f_i=min_{j=1}^{i-1}\{ f[j]+(F(i,j)-1-L)^2\} \]

其中

\[F(i,j)=\sum_{k=j+1}^{i}C_k+(i-j) \]

设

\[g(x)=\sum_{i=1}^xC_i+x \]

则

\[F(i,j)=g(i)-g(j) \]

为了简便让

\[L \leftarrow L+1 \]

，

\[\therefore f_i=min_{j=1}^{i-1}\{f_j+(g(j)+L)^2-2g(i)g(j)\}+g^2(i)-2g(i)L \]

如果 \(j\) 优于 \(k\) ：

\[f_j+(g(j)+L)^2-2g(i)g(j) \le f_k+(g(k)+L)^2-2g(i)g(k) \]

\[\therefore [f_j+(g(j)+L)^2]-[f_k+(g(k)+L)^2] \le 2g(i)(g(j)-g(k)) \]

\[def\;H_j=f_j+(g(j)+L)^2\,, \]

\[\therefore \frac{H_j-H_k}{g(j)-g(k)} \le 2g(i) \]

左边这一坨就是两个决策点的slope
S单增，H单增
用蝉蜩队列维护
每次把队头逼近至与下一点斜率 \(\gt 2g(i)\) 然后用该点更新
（注意是大于不是小于，画个图比较清楚）
因为每次相当于把平面旋转，使得原来斜率是 \(2g(i)\) 的某条直线变成 \(x\) 轴，然后找到 \(y\) 坐标最小的点更新（最低点即是该情况下直线与凸壳的切点）

然后就是slope不要打成 \(\large\frac{g(j)-g(k)}{H_j-H_k}\) 了（ 人类智慧巅峰

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一开始的心路历程（放在paste上的）：

\[f_i=min_{j=1}^{i-1}\{f_j-(S_i-S_j)+(i-j)t_i\} \]

\[S_x=\sum_{i=1}^xt_x \]

如果 \(j\,Ge\,k\) ：

\[f_j-S_i+S_j+(i-j)t_i \le f_k-S_i+S_k+(i-k)t_i \]

\[(f_j+S_j)-(f_k+S_k) \le t_i(j-k) \]

\[H_x=f_x+S_x \]

\[\therefore \frac{H_j-H_k}{j-k} \le t_i \]

t排序之后是单增
分子函数就是 \(f(x)=x\) 单增，分母关于 \(x\) 单增
吔，怎么突然又行了（
焯，dp柿子错了
我直接升天（
是

\[f_i=min_{j=1}^{i-1}\{f_j-(S_i-S_j)+(i-j)T_{i,j}\} \]

\[S_x=\sum_{i=1}^xt_x \]

\[T_{i,j}=max\{t_i,t_j+m\} \]

艹……

然后糊上去 \(O(n^2)\) ，发现WA了（
就算了（

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拿到疯狂直接想一维dp，然后迷惑了很久（
然后发现它是二维dp改过来的

\(f[i][j]\) 表示共分了 \(i\) 组，这一组的最后一个是 \(j\) 的最小花费
然后

\[f[i][j]=min_{k=1}^{j-1}\{f[i-1][k]+(\sum_{l=1}^{j}t_l+i \times S)\sum_{l=k+1}^{j}f_l\} \]

然后它是 \(n^3\) 的，完全不行

然后看到说可以进行费用提前计算
也就是说，因为每分出一组就会对后面每一组产生 \(S\) 的时间上的贡献，所以把这部分提前拉到 \(f_{i,j}\) 来算
故

\[f_i=min_{j=1}^{i-1}\{f_j+T_i(F_i-F_j)+S(F_n-F_i)\} \]

注意要在 \(f_0\) 提前算第一次启动造成的贡献
斜优柿子是 \(\large\frac{f_j-f_k}{F_j-F_k} \le T_i\)

up:
如果不预处理 \(f_0\) ，还可以这样：

\[f_i=min_{j=1}^{i-1}\{f_j+T_i(F_i-F_j)+S(F_n-F_j)\} \]

这时斜优柿子变成 \(\large\frac{f_j-f_k}{F_j-F_k} \le T_i+S\)

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上面的加强版
\(F_i\) 单调不减， \(T_i\) 不单调
对于第一条，这说明还是可以用单调队列维护凸壳，但是需要判断两个点的横坐标相同
对于第二条，根据斜优的三个套路，需要在队列里二分查找最优决策点

然后套上强无敌的D5eM二分就行了 (×)
然后经过无数次玄学尝试设置好了初始区间就行了 (√)

啊？什么？你问我为什么二分要这样写？
我也不知道啊，但是这样能过

就地总结一下fym二分的注意点：

    1. \(r\) 的初值一定要设置成右端点下一位，即 \(r=right+1\) ，因为判断的地方实际上作用是按照精度 \(1\) 判断 \(l=r\) ，如果想要能够查找到右端点就需要把上界设置成下一位（最后返回的是 \(l\) 指针）
    1. 在 \(mid\) 进行 \(check\) 的过程中，始终记住右指针代表的是查找右端点的下一位，也就是说普通二分检查的是 \(mid\) 和 \(mid+1\) 来判断 \(mid\) 合法性，而fym二分应该检查 \(mid-1\) 和 \(mid\) .

另外还有一些玄学的地方，比如在运输计划中的fym二分（
这个就看脸了（大雾
这种时候就改成这样罢：

ri l=lef,r=rig,mid;
while(l^r) mid=l+r>>1,(chk(mid)?r=mid:l=mid+1);

orz

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斜率优化是一款教训
教训是一款状态不一定只有一维
以及可以滚动数组防止空间被橄榄
（我竟然不是第一个搞这种骚操作的）
要说的都在注释里，这里不写了

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昨天看这个题，感觉无从下手，非常恐怖
然后下午回来一看基本就行了

因为只能向山下运送，就不用考虑自己前面建了的仓库会对自己产生影响，因为它们夹出来的这一段只能运到自己这里
而结合到题意，最后一个产品数量不为 \(0\) 的工厂必定会被建仓库
所以就曲线救国设计状态：
\(f_i\) 表示在 \(i\) 工厂建仓库的最小费用
所以

\[f_i=min_{j=1}^{i-1}\{f_j+x_i(P_i-P_j)-(S_i-S_j)+c_i\} \]

其中

\[S_i=\sum_{j=1}^{i}x_jp_j \]

\[P_i=\sum_{j=1}^{i}p_j \]

然后搞斜优上套路就好了
注意要判断末尾的工厂是否产品数为 \(0\) ，因为空工厂可以当作空气（

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有了上一题的铺垫很容易想了.
题目稍有不同，厂子总数只有两个，并且可以建在路上
但是正经人谁建在路上啊，很明显建在某棵树上比建在路上优
所以就和上一题完全一致了

明显这题需要的是两个维度，设 \(f_{i,j}\) 表示建了 \(j\) 个厂，第 \(j\) 个在 \(i\) 树上的最小费用
然后定睛一看， \(f_{i,0}=0\) ，砍掉一层
然后定睛一看， \(f_{i,1}\) 是直接计算不用dp
然后就砍成了一层
然后定睛一看，转移不会用到同层的值
然后就砍成了 \(0\) 层，连个 \(f\) 数组都不需要了.

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posted @ 2022-03-12 16:17  Neutral1sed  阅读(42)  评论(0)    收藏  举报