快速幂取模_C++

一、题目背景

　　已知底数a，指数b和模数mo，求ans = a^b % mo。

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二、朴素算法

　　就是暴力啦~~

　　

void power(int a,int b,int mo){
    long long ans=1;
    for(int i=1;i<=b;i++){
        ans*=a;
        ans%=mo;
    }
}

 

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三、快速幂取模　

　   先讨论无需取模的

　　当b为偶数时：a^b=a^(b/2)*2=(a²)^b/2

　　当b为奇数时：a^b=a*a^b-1=a*(a²)^(b-1)/2

　　如   2⁸=（2²）⁴         2⁷=2*(2²)³

　　所以，我们可以如此迭代下去

　　2¹⁰=(2²)⁵=(2²)*[(2²)²]²

　　 ①       ②              ③

　　指数为10 是一个偶数，则底数2平方，指数变为一半 [ ①→② ]

　　指数为5 是一个奇数，则先将底数提出作为系数（2²），此时指数为4 是一个偶数，则底数2²再平方，指数再变为一半 [ ②→③ ]

　　归纳总结得到：

　　      当指数大于1时，若为 偶数 则将指数除以2，底数平方

                                   若为 奇数 则先提出一个为底数的系数（可直接把该系数乘进ans中），所以指数减1，然后再按照 偶数 的办法做

　　不断迭代下去，当指数为1时，则直接得出答案

　　最后只要将每次相乘时取模即可，时间复杂度O(log₂b)

long long FastPower(int a,int b,int mo){
    long long ans=1;  a%=mo;
    while(b){
        if(b & 1) ans=(ans*a)%mo;// b 此时是奇数
        b >> 1;//  相当于是 b /= 2 ;
        a=(a * a) % mo;
    }
    return ans;
}