摩尔投票法

定义绝对众数为出现次数超过一半的数。

注意到如下事实：每轮消去一个绝对众数和一个其余元素，最后剩下的一定是绝对众数。

考虑模拟上述过程。维护二元组 \((\text{val},\text{cnt})\)，其中：

• \(\text{val}\) 表示当前候选元素。
• \(\text{cnt}\) 表示抵消后 \(\text{cnt}\) 获得的票数。

新元素 \(x\) 可以被视作二元组 \((x,1)\)。对 \((\text{val}_1,\text{cnt}_1)\) 和 \((\text{val}_2,\text{cnt}_2)\)，对信息的合并进行讨论：

• 若 \(\text{val}_1=\text{val}_2\)，票数相加为 \((\text{val},\text{cnt}_1+\text{cnt}_2)\)。
• 若 \(\text{val}_1 \ne \text{val}_2\)，取票数较大者，并做抵消操作。
  • 若 \(\text{cnt}_1 \ge \text{cnt}_2\)，合并为 \((\text{val}_1,\text{cnt}_1-\text{cnt}_2)\)。
  • 若 \(\text{cnt}_1 < \text{cnt}_2\)，合并为 \((\text{val}_2,\text{cnt}_2-\text{cnt}_1)\)。

上述过程称为摩尔投票法。若序列存在绝对众数，则对其做摩尔投票后，所得的 \(\text{val}\) 即为绝对众数。否则 \(\text{val}\) 是无效值。

考察 \((\text{val},\text{cnt})\) 合并满足结合律、交换律，且有单位元 \((\text{null}, 0)\)。故称摩尔投票信息构成交换幺半群。这允许我们使用数据结构来维护绝对众数。

P3765 总统选举

维护一个长为 \(n\) 的序列 \(a_i\)，支持 \(q\) 次操作：

• 给定 \(i,x\)，令 \(a_ i \gets x\)。
• 给定 \(l,r\)，查询 \([l,r]\) 的绝对众数，或报告不存在。

\(n,q \le 5 \times 10^5\)，\(1\le a_i \le n\)，5 秒，125 MB。

:::::success[题解]

若绝对众数存在，则可以用线段树维护摩尔投票解决。

对于摩尔投票得到的答案 \(\text{val}\)，我们需要在 \([l,r]\) 中查询其出现次数。可以对每个值开一棵平衡树，查询 \(l\) 和 \(r+1\) 的排名后相减得到。

复杂度 \(O(q \log n)\)。

:::::

P8496 [NOI2022] 众数