border 理论

记号：

• \(\text{per}(S)\) 表示 \(S\) 的所有周期组成的集合。
• \(\text{bd}(S)\) 表示 \(S\) 的所有 border 组成的集合。

定理 1 \(p \in \text{per}(S)\iff n-p \in \text{bd}(S)\)。

定理 2（弱周期引理，WPL）若 \(p, q \in \text{per}(S)\) 且 \(p+q \le n\)，则 \(\gcd(p,q) \in \text{per}(S)\)。

定理 3（Fine-Wilf 定理，PL）若 \(p, q \in \text{per}(S)\) 且 \(p+q-\gcd(p,q) \le n\)，则 \(\gcd(p,q) \in \text{per}(S)\)。

定理 4 长度 \(\ge n/2\) 的 border 长度构成一个等差数列。

定理 5 \(\text{bd}(S)\) 升序排序后，可以划分为 \(O(\log n)\) 段等差数列。