下大雨时是快跑还是慢慢走V1.1

       买个菜被大雨淋得全身湿透…路上回想起之前思考的问题：在大雨中奔跑前进是否会减少淋雨量？既然开了博客就记下来吧，这一记就是2天。。。

问题描述:

       第一直觉是跑得快以致淋雨时间减少，于是淋雨的量自然会减少啦。但同时出现了这样的问题：加入雨水是垂直落下，人如果静止不动，那淋雨的只有头顶，而奔跑的话则会由于相对运动导致身前会“撞上”雨水而导致淋雨量增加。那是减少淋雨时间的收益大还是避免身前撞雨的收益大呢？那速度应该如何控制呢？那如果雨水不是垂直落下呢？这是个问题。

　　为了简化问题的求解，下面需要对问题更“数字化”的定义。

       1. 首先，从实际意义上考虑，题目只计算人物从起点到终点一段路程的淋雨量。路程长度设为l ，而且假设为直线。则如果人的行走速度为v，则淋雨时间t=l/vx。

       2. 建立三维坐标轴，人物前进方向为x轴，右手为y轴，正上方为z轴。则人物的行走速度应该为(v,0,0), 其中v>=0。

       3. 人物模型是一个长方体，长宽高对应xyz轴分别是abc。

       4. 假设雨水均匀落下，并在这段时间内下落速度恒定保持为(v_x,v_y,v_z)，其中v_z<0。而由于雨水均匀落下，在某一时刻t=t0时雨水密度p可以认为是恒定的，而p则代表了雨的大小。

 

解答1：

      实际上这是后面想出来的做法，较为直观，于是写在前面。

　　由于雨水在某一时间t₀下的密度p恒定，容易联想到：通过切换坐标系将雨水设置为相对静止，而人物是在相对雨水运动，则淋雨量L可以表示为这个长方体在t=l/v这段时间内所经过的体积V（不包含其本身）与雨水密度p的乘积了。

L=Vp

　　p是常量，V该如何表示呢？

　　V可以认为是由长方形ab在z轴上拉伸的立体abz，bc在x轴上拉伸的立体bcy，ac在y上拉伸的立体组合而成（这里必须有个三维坐标图），若abz的面积表示为V_abz则V可以表示为:

　V=V_abz+V_bcx+V_acy

　　三维是由二维组成的，Vabz可以表示为长方形ab的面积与ab面在z轴上的高h。而在雨水静止的坐标系中人的相对速度为（v-vx,-vy,-vz），在t=l/v这个时间段内相对位移为((v-vx)l/v, -vyl/v, -vzl/v)。则有公式：

V_abz=ab*|v_zl/v|

V_bcx=bc*|(v-v_x)l/v|

V_acy=ac*|v_yl/v|

      上述三个公式代入V的表达式， 同时令v_m=|v_y|,v_n=|v_z|，并化简后可得

V= ((abv_n + acv_m)/v + bc*|(1-v_x/v)|) * l

　　由于绝对值的存在，这里需要分为下列三种情况

V= ((abv_n + acv_m - bcv_x)/v + bc) * l  …………v_x<0（1）

V= ((abv_n + acv_{m +} bcv_x)/v - bc) * l  …………v<=v_x&v_x>=0（2）

V= ((abv_n + acv_m - bcv_x)/v + bc) * l  …………v>v_x&v_x>=0（3）

 

　　由上述两个式子可知，在1，2种情况下时，v越大跑得越快V是越小于是淋雨量也是越小的，其中情况1表示雨水在x轴上与人物行走方向反向，而情况2则表示在同向时人至少不能比雨在前进方向上走得慢。在第3种情况下函数的增减情况与w=(abv_n + acv_m - bcv_x)的正负情况有关。w>0时跑得越快淋雨量少；w<0时跑得慢淋雨量少。

　　本人对自身状况做出一个估算a=10,b=35,c=175于是有式子：

w=350(1v_n+5v_m-17.5v_x)

　　到这里，对于情况3的讨论就转化为w的正负问题上了。

　　v_n作为雨水的收尾速度约为10m/s这个是知道的，但v_x和v_m又该如何估计呢？于是需要对w进行转化

w=350v_n(1+5v_m/v_n-17.5v_x/v_n)

　　其中v_m/v_n就是向x轴也就是前进方向看去，雨水与地垂线夹角α的正切值；v_x/v_n就是向y轴也就是前进方向的右边看去，雨水与地垂线夹角β的正切值.  通常非台风暴雨的情况下雨水与地垂线夹角θ ∈[0^o,45^o]，则tanθ ∈[0,1]。

　　由于情况较多，只以α为基准分析以下w<0也就是几种速度不宜过快只需v=v_x=v_n*tanβ的情况：

　　当α=45^o，β>37.8^o时；当α=0^o，β>6.5^o时；当α=β，β>9.1^o时w<0

　　提供几个参考值:v_（β=6.5）=0.5m/s；v_（β=9.1）=0.7m/s；v_{（β=37.8）}=3.3m/s

　　α=β=20^o时的奔跑速度-淋雨量关系图如下：

结论:

       1. 当雨水与前进方向逆向时（只考虑在x轴上的方向），跑得越快淋得越少

       2. 当雨水与前进方向同向时，在前进方向上至少要跑得与雨水一样快。至于是否需要更快的速度请参考α与β的关系，若你的身材a=10,b=35,c=175与本人一致时，请在1+5tanα<17.5tanβ保持与雨水速度一致。

 

解答2

       另一种方法是以人为参照物，人除正面外的ab和ac面的淋雨量仅与时间有关系。

L_ab+L_ac=(abv_n+acv_m)l/v

　　而正面的淋雨量为

L_bc=bc|(v_x-v)| * l/v

　　总淋雨量L=L_ab+L_ac+L_bc同样可以得到上述结果。

 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

结果V1.1版本了还是没有三维图，下了个autoCad又不能用囧死。

不知不觉4:00了, 下次再V1.2吧...