从圆锥曲线的光学性质出发——生活中的圆锥曲线

从圆锥曲线的光学性质出发——生活中的圆锥曲线

\[2123班蔡凌锋,2121班朱昱霖 \]

前置知识

1.费马原理

众所周知，光总沿着光程为极值的路径传播。光程，及光的路程，定义为 \(L=ns。\) （其中 \(n\) 为折射率，\(s\) 为光的几何路程）考虑到不同介质的折射率不同，即需要满足 \(\int_{Q}^{P} l(\vec{r})\, ds - 平稳值 。\) 这里的 \(“\) 平稳 \(”\) 可理解为取一阶导数为 \(0，\) 它可以是极大值，极小值，亦或是拐点。

2.开普勒三定律

第一定律 \(( 轨道定律\) \():\) 行星围绕太阳的运动轨道为椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。
第二定律 \(( 面积定律\) \():\) 行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
第三定律 \(( 周期定律\) \():\) 各行星椭圆轨道半长轴 \(A\) 的三次方与轨道运动周期的二次方之比值为相同的常量。即 \(\dfrac{A^3}{T^2} = K\)

3.关于圆锥曲线在极坐标系

以椭圆右焦点为极坐标系原点， \(r\) 为焦半径 \(,p\) 为焦准距，则 \(r cos\theta+\dfrac{r}{e} = p\)

\[r = \dfrac{ep}{ 1 + ecos\theta } \Rightarrow\begin{cases} 0<e<1 为椭圆\\ e>1 为双曲线\\ e=1 为抛物线\end{cases} \tag{结论1} \]

正文

Part.1.1

圆锥曲线，源于不同方式从圆锥上切下来的曲线。在我们的生活中，也处处可见圆锥曲线的身影。我们也知道，在几何光学中，倘若一组平行光入射到透镜中，经过折射会最终汇聚于透镜的另一侧的焦点。无论抛物线，双曲线，椭圆都有属于自己的焦点，那么这个焦点和光学中的焦点相比，又有什么共同之处呢？

我们现在有一个椭圆，左右焦点是 \(F_1,F_2\) 在椭圆上我们有一点 \(P,\) 当我们从一个焦点发射一束光到椭圆上，会经过反射到达另外一个焦点。
自古到今， 我们有很多种方法来证明，直观法，解析法。数学方法，物理方法。那么下面，我们由椭圆为引，来用两种数学解析方法和一种物理方法来简要证明一下。

第一种 ： 向量

我们只需要证明若直线 \(m\) 为 \(\angle F_1PF_2\) 的角平分线，则 \(m \bot l\)

\[\dfrac{x_0x}{a^2} + \dfrac{y_0y}{b^2} = 1 \]

设切线 \(l\) 的一个方向向量 $$ \vec{l} = (y_0,(e^2-1)x)$$
\(\vec{m}\) 为 \(\angle F_1PF_2\) 角平分线的方向向量

\[\vec{m} = \dfrac{\vec{PF_1}}{|\vec{PF_1}|} + \dfrac{\vec{PF_2}}{|\vec{PF_2}|} = (\dfrac{2x_0(ec-a)}{a^2-e^2x_0^2},\dfrac{-2ay_0}{a^2-e^2x_0^2}) \]

\[\vec{l} \cdot \vec{m} =0 \]

\[\therefore \vec{m} \bot \vec{l} \]

\(\vec{m} \bot \vec{l}\)意味着入射角 \(=\) 出射角，\(\vec{m}\)为法线，那么便证完了。

第二种 ： 角平分线定理 + 光的反射

若 \(PQ\) 为角平分线，则必有 \(\dfrac{|\vec{PF_1}|}{|\vec{PF_2}|} + \dfrac{|\vec{QF_1}|}{|\vec{QF_2}|} \Longrightarrow \dfrac{|\vec{PF_1}|}{2A} + \dfrac{|\vec{PF_2}|}{2C}\)
证 \(:\) 设 \(P(x_0,y_0)\)

\[k_{切}=-\dfrac{B^2x_0}{A^2y_0},k_{法}=-k_{切}=\dfrac{A^2y_0}{B^2x_0} \]

法线方程 $ y-y_0 = k_{法}(x-x_0) $ 取 \(y=0\) 得 \(x_Q\) 坐标 \(x_Q = \dfrac{C^2}{A^2}x_0\)

\[\overline{F_1Q} = C+x_Q \]

\[\overline{F_1P} = \sqrt{ (x_0+C)^2 + y_0^2 } = (\dfrac{C}{A}x_0 + A)^2 \]

\[\therefore \dfrac{\overline{PF_1}}{QF_1} = \dfrac{A}{C} \]

第三种 ： 费马原理 （物理）

我们清楚椭圆上的一点到两焦点的距离之和为定值，这符合费马原理光程是个平稳值的结论。

Part.1.2

学习圆锥曲线时，我们发现它们有许多的通性，切点弦、特征梯形乃至光学性质。对于抛物线和双曲线，在此用光反射定理结合数学推导进行证明。
\((1)\) 从抛物线焦点发出的一束光线，经过抛物线内侧反射必定成为一束平行于对称轴的光线。

\(QR\) 为反射光线，过 \(Q\) 作抛物线切线 \(MQN\) 和法线 \(sQt.\) 由于 \(sQt\) 和 \(MQN\) 垂直，反射角等于入射角 \(\angle FQM = \angle RQN\)
只要证 \(QR\) 与 \(y\) 轴平行。
证 \(：\) 有切线 \(MQN\) 在坐标记为 \((x,y)\) 的 \(Q\) 点处的斜率

\[tan \phi = 2*\dfrac{x}{2p} = \dfrac{x}{p} \]

\[\Rightarrow\overline{FQ} = \sqrt{ x^2 - ( y - \dfrac{P}{2})^2 } = y + \dfrac{P}{2} \]

\[\Rightarrow\overline{FM} = \overline{FQ} \Rightarrow \angle RQN = \angle FMQ \Rightarrow QR 与 y轴平行。 \]

\((2)\) 从双曲线外焦点发出的一束光线，经双曲线外侧反射后，必成虚像于内焦点。

图中 \(\theta_1 = \theta_2.\) 入射光线 \(F_1P\) 对应入射角 \(\theta_1 = \theta_2.\) 便有反射角 $ \theta_x=\theta_2=\theta_1=\theta_i $ 故反射光线反向延长线必过 \(F_2\)
\(PS\) 角平分线身份可由 $ \dfrac{\overline{PF_1}}{\overline{PF_2}} = \dfrac{\overline{F_1S}}{\overline{F_2S}} $ 予以认可.
证:

\[\begin{cases} |\vec{PF_1}|^2 = (x_0+C)^2 +y_0^2 = (\dfrac{C}{A}x_0+A)^2\\ |\vec{PF_2}|^2 = (\dfrac{C}{A}x_0-A)^2\end{cases} \]

\[k_{切} = \dfrac{B^2 x_0}{A^2 y_0} , \dfrac{y}{x_0-x_s}=k_{切}=\dfrac{B^2 x_0}{A^2 y_0} \Rightarrow x_s=\dfrac{A^2}{x_0} \]

\[ |\vec{F_1S}| = C+x_s , |\vec{F_2S}| = C-x_s \]

\[ \Rightarrow \dfrac{\overline{PF_1}}{\overline{PF_2}} = \dfrac{\overline{F_1S}}{\overline{F_2S}} \]

Part.2.1

举目仰望星空，星汉灿烂。这浩瀚的宇宙不知引起了多少人的遐思。天体，是宇宙中多且重要的一类物体。
数学家和物理学家对天体也就是星体的研究从及早就已经开始，希腊天文学家托勒密在公元 \(2\) 世纪认为行星轨道都是圆形的。直到 \(16\) 世纪第谷对天体 \((\) 行星 \()\) 运动的观测得出大量数据。开普勒在他死后通过大量的计算整理才让圆锥曲线第一次于天体结缘，即开普勒第一定律。就此圆锥曲线与天体的研究拉开序幕，它让行星轨道与椭圆有了联系，那么我们不妨进一步探究完具体的物理意义与圆锥曲线的交织。

2.1.1

由开普勒第二定律和能量守恒

\(M\) 为中心天体的质量，\(m\) 为绕行天体的质量, \(G\) 为万有引力常量。

\[\dfrac{1}{2}mv_A^2 - G\dfrac{Mm}{a-c} \Rightarrow\begin{cases} v_A=\sqrt{\dfrac{(a+c)GM}{(a-c)a}}\\ v_A=\sqrt{\dfrac{(a-c)GM}{(a+c)a}}\end{cases} \]

\[\Rightarrow E_{椭}=\dfrac{1}{2}mv_A^2-\dfrac{GMm}{a-c}=-\dfrac{GMm}{2a} \]

若我们引入 \(\vec{L}=\vec{r} \times m\vec{v}(\) 角动量 \()\) 则有 \(L = mb\sqrt{\dfrac{GM}{a}}\)
我们惊奇的发现， \(a,b\) 这两个数学参量可以用物理符号表示

\[\therefore a^2 = (-\dfrac{GMm}{2E})^2 , b^2 = -\dfrac{L^2}{2mE} \]

\[\Rightarrow \dfrac{x^2}{(-\dfrac{GMm}{2E})^2}+\dfrac{y^2}{-\dfrac{L^2}{2mE}} = 1 \]

2.1.2

或许 \(b^2\) 表达式中的负号令人大跌眼镜，但不能忘记 \(E\) 为负值，那么双曲线和抛物线的能量又是否可以为负呢？它们又是否能用物理符号表达呢？让我们进一步探究。

\[\begin{cases} \dfrac{1}{2} v_0b = \dfrac{1}{2} v_m(c-a)\\ \dfrac{1}{2} mv_0^2 = \dfrac{1}{2} mv_m^2-\dfrac{GMm}{c-a}\\\end{cases} \]

\[\Rightarrow v_0=\sqrt{\dfrac{GM}{a}} \Rightarrow E_{双} = \dfrac{1}{2}mv_0^2 = \dfrac{GMm}{2a} \]

其中 \(v_0\) 是天体在无穷远处双曲线轨道上的速度， \(v_m\) 为在顶点处的速度.
类似椭圆的证明引入 \(\vec{L}=\vec{r} \times m\vec{v}(\) 角动量 \()\) 则有 \(L = mb\sqrt{\dfrac{GM}{a}}\)

\[ a^2 = (\dfrac{GMm}{2E})^2,b^2 = \dfrac{L^2}{2mE} \]

\[ \Rightarrow \dfrac{x^2}{(\dfrac{GMm}{2E})^2} - \dfrac{y^2}{\dfrac{L^2}{2mE}} = 1 \]

2.1.3

我们发现抛物线的时候 \(E\) 为正值,那么不妨猜测 \(E_{抛} = 0\)
当抛物线开口朝右时， \(y^2 = 2px\)，取 \(M(\dfrac{P}{2},p)\)

\[\begin{cases} \dfrac{1}{2} v_m\dfrac{\sqrt{2}}{2}p = \dfrac{1}{2} v_0\dfrac{P}{2}\\ \dfrac{1}{2} mv_m^2 -\dfrac{GMm}{p}= \dfrac{1}{2} mv_0^2-\dfrac{GMm}{\dfrac{P}{2}}\end{cases} \]

\[\Rightarrow v_0 = \sqrt{\dfrac{4GM}{p}} \Rightarrow E_{抛} = 0 \]

结果果真如此, \(\vec{L} = m\sqrt{GMp} \Rightarrow p = \dfrac{L^2}{m^2GM}\)

\[\therefore y^2 = 2-\dfrac{L^2}{m^2GM} \]

2.1.4

综上我们不难发现圆锥曲线表达式均可用物理符号表示且能量 \(E\) 与离心率 \(e\) 在判断圆锥曲线种类上发挥相同的作用.

\[\begin{cases} E > 0 双曲线\\ E = 0 抛物线\\ E < 0 椭圆\end{cases} \]

Part.2.2

但在平面直角坐标系中的表示的圆锥曲线略显复杂，让我们在极坐标中进一步探索。令

\(M\) 为中心天体的质量，\(m\) 为绕行天体质量，\(\dot{r}\) 为径向速度，\(r\dot{\theta}\) 为横向速度，\(F\) 为引力。

\[\vec{F} = -\dfrac{GMm}{r^3} \vec{r} \]

合外力矩为 \(0\) ，系统角动量守恒, 合外力做功为 \(0\),系统能量守恒，\(L,E\) 均为常量。

\[\begin{cases} mr^2\dot{\theta} = L\\ \dfrac{1}{2} m (\dot{r}^2+r^2\dot{\theta})-\dfrac{GMm}{r} = E\end{cases} \]

\[\Rightarrow \begin{cases} \dot{\theta} = \dfrac{L}{mr^2}\\ \dot{r} = \sqrt{(\dfrac{2E}{m})+\dfrac{2GM}{r} - \dfrac{L^2}{m^2r^2}} \end{cases} \]

\[引入 p = \dfrac{L^2}{GMm^2},\varepsilon = \sqrt{1+\dfrac{2EL^2}{G^2M^2}m^3} \]

\[\Rightarrow \dot{\theta} = \dfrac{\dfrac{\dot{r}}{r^2}}{\sqrt{(\dfrac{\varepsilon}{p})^2-(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{p})^2}} \]

\[\Rightarrow r=\dfrac{p}{1+\varepsilon cos(\theta-\theta_0)} \]

我们发现 \((1)\) 与圆锥曲线极坐标方程 \(r = \dfrac{ep}{ 1 + ecos\theta }\) 极其符合，有上可以发现 \((1)\) 中 \(\varepsilon\) 与离心率 \(e\) 发挥相同的作用

\[\Rightarrow\begin{cases} 0<\varepsilon<1 , E<0 为椭圆\\ \varepsilon>1 , E>0 为双曲线\\ \varepsilon=1 , E=0 为抛物线\end{cases} \tag{结论} \]

故，由 \(Part 2，\)我们发现圆锥曲线与天体联系紧密。
其实以上论述的过程中所有的情况还有一个共通点，即处在引力场中，那么其它有心力场是否也存在这种关系呢？答案是肯定的，不仅限与宏观的天体，微观例子也与圆锥曲线密不可分，如 \(\alpha\) 粒子的散射轨道是双曲线。

结语

圆锥曲线其实广泛存在在我们的身边，光在圆锥曲线的传播方式，大到天体的运动、小到微观粒子都或多或少和圆锥曲线有着关系。

这些需要我们用笔去计算，用心去感受、去发现。留心身边中的问题，或许能让我们的数学感觉得到提升，进一步去领略数学在生活中的体现，进一步感受生活中的数学之美