斐波那契-黄金分割

斐波那契数列

普通递推

\[F_0=0,F_1=1,F_n=F_{n-1}+F_{n-2} \]

快速倍增递推

\[F_{2n}=F_n(2F_{n+1}-F_n)\\ F_{2n}=F_n(F_{n+1}+F_{n-1})\\ F_{2n+1}=F^2_{n+1}+F_n^2 \]

矩阵递推

\[\left[ \begin{matrix} 1~~~~1\\ 1~~~~0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} F_{n-1}\\F_{n-2} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} F_{n}\\F_{n-1} \end{matrix} \right] \]

通项公式及其推导

令\(\phi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2},\hat \phi = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\)

\(\because \dfrac{|\hat\phi|}{\sqrt{5}}<\dfrac{1}{\sqrt{5}}<\dfrac{1}{2}\)

\(F_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}}(\phi^n-\hat\phi^n)=\lfloor \dfrac{\phi^i}{\sqrt{5}} + \dfrac{1}{2} \rfloor\) 所以、斐波那契以指数形式增长

\(1.\) 母函数法

\( \digamma(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infin} F_nx^n\\ \digamma(x)=x^2\digamma(x)+x\digamma(x)+x\\ \digamma(x)=\dfrac{x}{1-x-x^2} \)

母函数进行展开，

首先我们要知道牛顿二项式定理、牛顿广义二项式定理、二项式定理的推广

牛顿二项式定理 \((n \in N^{+})\)

\((x+y)^n = \sum\limits_{i=0}^{n} C_{n}^{i} x^{n-i}y^{i}\)

**二项式定理推广至 \((n \in N)\) **

\((1+x)^n=\sum\limits_{i=0}^{\infin} C_{n}^{i} x^i~~~~(n>0)\)

\((1+x)^{-n} = \sum\limits_{i=0}^{\infin} C_{-n}^{i} x^i=\sum\limits_{i=0}^{\infin}(-1)^i C_{n+i-1}^{i} x^i\)

牛顿广义二项式定理\((\alpha \in R)\)

\((x+y)^{\alpha}=\sum\limits_{i=0}^{\infin}\tbinom{\alpha}{i} x^{\alpha-i}y^k\)

其中 \(\tbinom{\alpha}{i}\) 类似组合数 \(\tbinom{\alpha}{i}=\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-i+1)}{i!}\)

特殊形式

\((1+x)^n = (1-x)^{-n} = \sum\limits_{i=0}^{\infin} C_{n}^{i}x^i\)

推导开始：

\[设~\digamma(x)=\frac{x}{1-x-x^2}=\frac{A}{1-\alpha x}+\frac{B}{1-\beta x} \\=\frac{A+B-x(A\beta+B\alpha)}{1-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta x^2}\\ \left\{ \begin{matrix} A+B=0\\ A\beta+B\alpha=-1\\ \alpha+\beta=1\\ \alpha\beta=-1 \end{matrix} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A=\frac{1}{\sqrt{5}}\\ B=-\frac{1}{\sqrt{5}}\\ \alpha=\phi\\ \beta=\hat\phi \end{matrix} \right.\\ \therefore \digamma(x)=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1}{1-\phi x}-\frac{1}{1-\hat\phi x})\\ \because\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{n=0}^{\infin}x^n\\ \digamma(x)=\frac{1}{\sqrt{5}}\sum\limits_{n=0}^{\infin}(\phi^n-\hat\phi^n) x^n \]

\(2.\) 数列待定系数法

类似于求解 \(a_n = pa_{n-1}+q\)

性质

\[1.$$ **卡西尼性质** $F_{n-1}F_{n+1}-F_n^2=(-1)^n$ 证： \]

F_{n-1}F_{n+1}-F_n^2\
=det
\left(
\left[
\begin{matrix}
F_{n+1}F_{n}\
F_{n}F_{n-1}
\end{matrix}
\right]
\right)
=det
\left(
\left[
\begin{matrix}
11\
10
\end{matrix}
\right]
\right)^n

\left(
det
\left(
\left[
\begin{matrix}
11\
10
\end{matrix}
\right]
\right)
\right)^n=(-1)n

\[$2.$ **附加性质** $F_{n+m}=F_m F_{n+1}+F_{m-1}F_{n}$ 证： \]

\because
\left[
\begin{matrix}
F_{n}~F_{n-1}\
F_{n-1}~F_{n-2}
\end{matrix}
\right]

\left[
\begin{matrix}
11\
10
\end{matrix}
\right]^{n-1}\
\therefore
\left[
\begin{matrix}
F_{n+m}~F_{n+m-1}\
F_{n+m-1}~F_{n+m-2}
\end{matrix}
\right]

\left[
\begin{matrix}
11\
10
\end{matrix}
\right]^{n+m-1}=\left[
\begin{matrix}
11\
10
\end{matrix}
\right]^{n}
\left[
\begin{matrix}
11\
10
\end{matrix}
\right]^{m-1}=
\left[
\begin{matrix}
F_{n+1}~F_{n}\
F_{n}~F_{n-1}
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
F_{m}~F_{m-1}\
F_{m-1}~F_{m-2}
\end{matrix}
\right]\
\therefore F_{n+m}=F_{n+1}F_{m}+F_nF_{m-1}

\[变形： $F_{2n} = F_n(F_{n+1}+F_{n-1})$ . **$3.$ 整除与 $GCD$ 性质** $\forall a,b \in N,F_a|F_b\Leftrightarrow a|b$ $(F_n,F_m) = F_{(n,m)}$ 证： \]

设_n>m则(F_n,F_m)=(F_{n-km},F_m)\
设_r=n-km,r<m_则(F_r,F_m)=(F_r,F_{m-kr})\
这就类似于欧几里德算法的过程\
\therefore~(F_n,F_m)=F_{(n,m)}

\[**$4.$ 求和公式** 奇数项：$\sum\limits_{i=1}^{2n-1}[2\nmid i] F_{i}= F_{2n}$ 偶数项：$\sum\limits_{i=2}^{2n}[2\mid i] F_{i}= F_{2n+1}-1$ 平方项：$\sum\limits_{i=1}^{n}F_i^2=F_n F_{n+1}$ 证：画图 #### 推广 **$1.$ 广义斐波那契数列** 当 $n<0$ 时 $F_n=F_{n+2}-F_{n+1}$ $F_{-n}=(-1)^{n-1}F_n$ **$2 .$ 类斐波那契数列** 又称**斐波那契—卢卡斯数列** 对于数列 $G,$ 若 $G_0=a,G_1=b,$且数列满足递推关系式，则称 $G$ 是类斐波那契数列 $G_n =a F_{n-1} + b F_{n}$ 用矩阵可证 类斐波那契数列也有部分斐波那契数列的性质 任意两个或两个以上斐波那契—卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契—卢卡斯数列 **$3. Lucas$ 数列与 $Fibonacci$ 数列** $Lucas$ 数列为 $a=2,b=1$ 的类斐波那契数列，记为 $L$ $L_n = (\dfrac{1+\sqrt{5}}{2})^n+(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2})^n~~~~(n\ge 2)$ $Lucas$ 数列能够辅助写出看似很困难的等式 \]

2L_{n+m}=5 F_n F_m+L_n L_m\
2F_{n+m}=5 F_n L_m+L_n F_m\
L_{2n}=L_n^2-2(-1)n\
F_{2n}=F_n L_n\
L_n=F_{n+1}+F_{n-1}

\[ **$4.$ 编码(齐肯多夫定理)** **齐肯多夫表述法**表示任何正整数都可以表示成若干个不连续的斐波那契数之和 证： \]

若_m为斐波那契数,成立\
否则考虑最大_n1满足~F_{n1}< m<F_{n1+1}\
继续考虑最大_n2满足~F_{n2} < m-F_{n1}<F_{n2+1}\
反证：\
若_{F_{n1}}和_{F_{n2}}为连续斐波那契数\
则_{F_{n1+1}<m}与_{F_{n1+1}>m}矛盾

\[ #### 模意义下的循环 对于任意整数 $n$ , 数列为 $F_i~(mod~n)$ 周期数列. 皮萨诺周期 $\pi(n)$ 记为该数列的周期. 例如，模 $3$ 的斐波那契数列前若干项为: $0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0\cdots$ $\therefore \pi(3) = 8$. 性质： $1.~~\pi(n)\le 6 n$ 且只有满足$n=2*5^k$ 的形式时才取得到等号 $2.~~\forall a,b\in N~且~(a,b)=1，\pi(a)\pi(b)=\pi(ab)$ \]