组合数八题->赫拉克勒斯十二试炼

前置知识

组合数

$ \LARGE\tbinom{n}{m} = \frac{n!}{(n-m)!m!}$

第二类 \(Stirling\) 数

\(S(n,m)\)，同时可记为 \({n \brace m}\)。其表示将 \(n\) 个不同的元素分成 \(m\) 个非空集合的方案数。

递推式:\(\LARGE {n \brace m}=m{n-1 \brace m}+{n-1 \brace m-1}\)

${n \brace 0} = 1 (n \geq 0) $

通项: \(\LARGE {n \brace m} = \frac{1}{m!}\sum_{i=0}^{m}(-1)^i\tbinom{m}{i}(m-i)^n\)

划分数

将 \(n\) 划分为 \(k\) 个正整数的方案数，求出划分方法数

递推式

\[paritition(n,m)= \left\{ \begin{matrix} partition(n,n)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(n<m)\\ partition(n-1,m-1)+partition(n-m,m)~~~~(n\geq m)\\ 1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(n=0~||~m=1) \end{matrix} \right. \]

正文

$n 个球（有无标号）， \(m\) 个盒子（有无标号）， \(3\) 种限制， $12 重试炼

有无标号记为 \(L/U\)。

限制：

\(A.\) 每个盒子可以为空

\(B.\) 每个盒子不能为空

\(C.\) 每个盒子最多有一个球

$ Part_1:(LLA)$

\(m\) 个不同的盒子对于每一个球提供了 \(m\) 中选择，而 \(n\) 个球存在差异

\[Sol:~~~~m^n \]

\(Part_2:(LLB)\)

转化成 \(Part_8(LUB)\) ,求出 \(n\) 个不同的求在 \(m\) 个相同盒子不允许为空的方案数，再乘以 \(m\) 个盒子的全排列数。

\[Sol:~~~~m!{n \brace m} \]

\(Part_3:(LLC)\)

分 \(n \leq m\) 和 \(n > m\) 讨论，\(n \leq m\) 相当于在 \(m\) 个位置中选 \(n\) 个位置进行全排。

\[Sol:~~~~\left\{ \begin{matrix} P_{m}^{n}~~~~(n \leq m)\\ 0~~~~~~~~(n>m) \end{matrix} \right. \]

\(Part_4:(ULA)\)

考虑插板法，但是会出现多个盒子插入到同一个空隙中，不能确定顺序。

首先，添加\(m\)个球到\(m\)个盒子中，默认了每一个盒子保证了有一个球，相当于盒子不能为空的情况，但是对方案数的推导没有影响。

此时有\(n+m\)个球，问题转化为于不同且不可为空的盒子放入相同的球的情况，就变成了普通的插板法。

\[Sol:~~~~\tbinom{n+m-1}{m-1} \]

\(Part_5:(ULB)\)

普通的插板法，相当于把 \(n\) 个球用 \(m-1\) 个不同的板子分成 \(m\) 份，组合数即可

\[Sol:~~~~\tbinom{n-1}{m-1} \]

\(Part_6:(ULC)\)

\(m\) 个中选取 \(n\) 个放入球，组合

\[Sol:~~~~\left\{ \begin{matrix} \tbinom{m}{n}~~~(n\leq m)\\ 0~~~~~~~(n > m) \end{matrix} \right. \]

\(Part_7:(LUA)\)

为 \(n\) 个不同的球放在 \(1\sim m\) 个相同且不为空的盒子的方案数的总和，转化成 \(Part_8(LUB)\) .

\[Sol:~~~~\sum_{i=1}^{m} {n \brace i} \]

\(Part_8:(LUB)\)

第 \(n\) 个球放在第 \(m\) 个盒子，其余的放在其余的格子，第 \(n\) 个球任意放，乘上 \(n-1\) 个球放在 \(m\) 个盒子中的方案数，这样能保证一定没有空盒子

见第二类斯特林数的定义，由此可知

\[Sol:~~~~{n \brace m} \]

\(Part_9:(LUC)\)

无论怎么放都是一样的

\[Sol:~~~~[n\leq m] \]

\(Part_{10}:(UUA)\)

为 \(n\) 个相同的球放在 \(1\sim m\) 个相同的且不为空盒子的方案数的总和，转化成 \(Part_{11}(UUB)\) .

\[Sol:~~~~\sum_{i=1}^{m} partition(n,i) = partition(n+m,m) \]

\(Part_{11}:(UUB)\)

就是前置中提到的划分数，类比

分两种情况

\(1.\) 给一个盘子放上 \(1\) 保证不为空 \(:partition(n, m) = partition(n, m-1)\)

\(2.\) 给每个盘子放上 \(1~:partition(n, m) = partition(n-m, m)\) 没有空盘子，我们可以看成先给每一个盘子放一个苹果，则还剩下 \(n-m\) 个苹果，剩下的问题就是把这 \(n-m\) 个苹果放到 \(m\) 个盘子里的问题了

\[Sol:~~~~partition(n,m) \]

\(Part_{12}:(UUC)\)

无论怎么放都是一样的。

\[Sol:~~~~[n\leq m] \]