039.递归master公式

一、Master公式定义

Master公式用于分析所有子问题规模相同的递归算法的时间复杂度。其标准形式为：

\[T(n) = a \cdot T\left(\frac{n}{b}\right) + O(n^c) \]

其中：

• a：递归调用的次数（子问题的个数）
• b：每次递归问题规模缩小的比例
• c：递归外操作的时间复杂度指数
• a、b、c都是常数

二、Master公式的三种情况

情况1：\(\log_b a < c\)

• 复杂度：\(O(n^c)\)
• 解释：递归外的工作量占主导

情况2：\(\log_b a > c\)

• 复杂度：\(O\left(n^{\log_b a}\right)\)
• 解释：递归调用的工作量占主导

情况3：\(\log_b a = c\)

• 复杂度：\(O(n^c \cdot \log n)\)
• 解释：内外工作量平衡，需乘以\(\log n\)

三、常见算法示例

1. 归并排序

递归关系式：

\[T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right) + O(n) \]

参数分析：

• \(a = 2\)（分成两个子问题）
• \(b = 2\)（每个子问题规模为\(n/2\)）
• \(c = 1\)（合并操作为\(O(n)\)）

计算比较：

• \(\log_b a = \log_2 2 = 1\)
• \(c = 1\)
• \(\log_b a = c\) → 情况3

时间复杂度：

\[O(n^c \cdot \log n) = O(n \log n) \]

2. 二分查找

递归关系式：

\[T(n) = T\left(\frac{n}{2}\right) + O(1) \]

参数分析：

• \(a = 1\)
• \(b = 2\)
• \(c = 0\)

计算比较：

• \(\log_b a = \log_2 1 = 0\)
• \(c = 0\)
• \(\log_b a = c\) → 情况3

时间复杂度：

\[O(n^c \cdot \log n) = O(\log n) \]

3. 快速排序（最好情况）

递归关系式：

\[T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right) + O(n) \]

与归并排序相同，时间复杂度为：

\[O(n \log n) \]

四、特殊情况

对于形式为：

\[T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right) + O(n \log n) \]

的时间复杂度为：

\[O\left(n (\log n)^2\right) \]

注意

仅适用于等规模划分：如果子问题规模不同，不能使用Master公式