上下界网络流

最基础的情况是无源汇上下界可行流。

无源汇上下界可行流

找到一个流函数 \(f\)，满足 \(f(u,v)\in [low(u,v),up(u,v)]\)。

解决方案：利用网络流平衡流量。

首先全部流取下界，算出一个点的 \(d\)：

\[d_u=\sum_{(u,v)}low(u ,v)-\sum_{(v,u)}low(v,u) \]

然后建立超级源点 \(S\)，汇点 \(T\)，建立边：

1. \((u,v,up(u,v)-low(u,v))\)
2. \(\forall b_x>0,(S,x,b_x)\)
3. \(\forall b_x<0,(x,T,-b_x)\)

本质上，源汇点起平衡流量的作用。

跑一次最大流，若最大流不满流则无解。

一个合法的 \(f=low+f'\)，其中 \(f’\) 是最大流流量。

有源汇上下界可行流

设原本源汇为 \(s,t\)。

建立边 \((t,s,0,inf)\)，后面指的是上下界，按上面的建立超级源汇 \(S,T\) 即可。

有源汇上下界最大流

先跑一次有源汇上下界可行流，然后撤去点 \(S,T\) 以及边 \(t\to s\)。

这一次的流量是 \(t\to s\) 的流量 \(b\)。

在跑完可行流后的图 \(G'\) 上再跑一次最大流，得到流量 \(f'\)。

最大流是 \(b+f'\)。

二分图必选点最大匹配可以通过这个解决。

有源汇上下界最小流

\(s\to t\) 的最小流是 \(t\to s\) 最大流的相反数

用 \(b\) 减去 \(G’\) 上 \(t\to s\) 的最大流即可。

费用流

算下界的时候算上费用流，超级源汇 \(S,T\) 连出去的边费用都是 \(0\) 即可。