回文自动机 PAM

PAM 定义

我们用PAM上的一个节点代表原序列的一个本质不同回文串。

由于回文串分奇和偶两个长度，我们开两颗树分别存储奇回文串和偶回文串，不妨称之为奇树，偶树。

由于回文串前后相等，我们定义一个点对应的回文串是：一次写下从它到它这棵树的根，再从根回到它的路径上所有边的字符，定义奇树的与根相连的边上的字符只书写一次，偶树书写两次。

比如以样例 debber 为例，设 \(0\) 是偶树的根，\(1\) 是奇树的根，它的PAM长这样：

在每个下标，我们存储三个东西：\((len,fail,ch)\)，其中 \(ch\) 是子节点数组。

\(len\) 是指这个点代表的回文串长度，\(len_1=-1,len_0=0,len_i=len_{fa_i}+2\)。

fail 指针定义

定义 \(fail_i\) 指向代表节点 \(i\) 的这个回文串的最长回文后缀的节点。

举例：

1. abba 的最长回文后缀是 a
2. aaaa 是 aaa
3. acaca 是 aca

特别的，我们让 \(fail_0=1\)。

构建 PAM

考虑逐个加入字符，设加入了 \(i\) 个字符，现在加入第 \(i+1\) 个字符 \(c\)。

这个思想是很暴力的：

设 \(now\) 为 \([1,i]\) 的最长回文后缀所对应的节点（其实就是插入 \(i\) 后的节点）。

不断跳 \(now\) 的 \(fail\)，直到跳到 \(now\) 这个所代表的串在原串往后一个字符是 \(c\) 并且往前一个字符也是 \(c\)（这个原串指的是右端点为 \(i\) 的情况下）。

如果现在 \(now\) 有 \(c\) 这个儿子，直接跳过去即可，否则新建一个节点作为它的儿子，并记录 \(len\) 这个信息，然后让它的 $fail $ 指针指向 \(now\) 继续跳 \(fail\) 跳到合法为止，让新节点的 \(fail\) 指向 \(now'\) 的对应儿子即可（不存在就是 \(0\)）。

复杂度证明

• 空间：每次加入一个 \(i\) 至多新开一个节点，节点数 \(O(n)\)。
• 时间：考虑 \(now\) 的变化，每次往上跳都会导致 \(fail\) 树深度减少，它每插入一个元素自身深度最多增加 \(1\)，因此至多总跳 \(2n\) 次，是 \(O(n)\) 的。

模板题

求PAM的时候顺带记一下fail树深度即可。

int dep[N],len[N],fail[N],ch[N][26],n,m,idx=1;
string a;
int find(int x,int i){
	while(i-len[x]-1<=0||a[i]!=a[i-len[x]-1])x=fail[x];
	return x;
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>a;n=a.size();a=" "+a;
	fail[0]=1;len[1]=-1;
	for(int i=1,lt=0,now=0;i<=n;++i){
		a[i]=(a[i]-97+lt)%26+97;int x=a[i]-'a';
		now=find(now,i);
		if(!ch[now][x]){
			fail[++idx]=ch[find(fail[now],i)][x];
			ch[now][x]=idx;len[idx]=len[now]+2;
			dep[idx]=dep[fail[idx]]+1;
		}
		now=ch[now][x];
		cout<<(lt=dep[now])<<" ";
		// cout<<now<<" "<<dep[now]<<" "<<len[now]<<" "<<fail[now]<<"\n";
	}
}