凸壳的常见维护方式及其优劣

我们知道，对于具有凸性的DP存在一种技巧叫 Slope Trick，一般指利用堆维护斜率拐点，但凸壳不止这一种表达方法，还有一些。

先来看看我们需要的操作：

加法：$g(x)=f(x)+h(x)$，$h_1(x)=C,h_2(x)=kx+b,h_3(x)=|x-a|$
平移，然后取极值——这本质是闵可夫斯基和（负数下标就平移）
做闵可夫斯基和

与一个较小的凸壳做卷积。
前后缀极值

$f'_x=\min_{y\le x}f_y$。
$f'_x=\min_{x-r\le y\le x-l}f_y$
截断：

$f'_x=\min(f'_{x-1}+k,f_x)$

然后有一些常用的方法：

维护斜率变化点

Slope Trick 的经典办法，即维护所有的斜率转折点，也就是比如在 $x>t$ 的所有斜线的斜率全部增加 $1$，那么就插入一个 $t$。实质上是斜率数组的差分的另一种表达（$k_{i+1}-k_i$ 就是数字 $i$ 出现次数）。一般用堆维护。

它丢失了具体的一个点信息，一般可以考虑维护图像的起点，以及首条斜线的斜率信息。

然后就可以逐个还原出斜率数组进而还原图像。
1. 加常函数就改起点，加 $kx+b$ 可以看出来是给所有直线斜率加，那么打一个全体加标记，加绝对值函数相当于值 $a$ 左侧斜率减一，右侧加一，插入两个 $a$ 并更新维护的额外信息即可。
2. 平移就给起点打标记。
3. 做不了闵可夫斯基和。
  
  例如 $f'_x=\min(f_{x},f_{x-1}+v_1,f_{x-2}+v_2)$。
  
  本质上是与 $\lbrace 0,v_1,v_2\rbrace$ 做闵可夫斯基和。
4. 相当于将斜率为正/负的段全部删掉，一般是用对顶堆维护 $\le 0$ 和 $>0$ 的部分，这也更方便维护最值。
5. 这是特殊的闵可夫斯基和。
  
  做适当的平移后，相当于扩展了最值的位置。
  
  一般也考虑用对顶堆维护，但我们还需要额外增加变量来表示最值段的长度。
  
  变化点集合有整体的加减标记，可以打 tag。
  
  是 $O(1)$ 的，这很重要。
6. 这样的操作本质上是在删除斜率 $>k$ 的部分。
  
  弹出这些变化点即可。其实是上上个操作的简化版。
优点：相当于维护斜率的差分数组，但是避免了显式维护，这样可维护的值域之类都变大了。

缺点：做不了闵可夫斯基和，需要额外维护起点，最值相关信息。
维护斜率数组。

一般考虑采用堆，map，set，平衡树，对顶堆，左偏树等有序且支持插入的结构。
1. 加一次函数相当于区间加，加绝对值也差不多，但支持定义域限制。
  
  对于特定结构，例如对顶堆加 $a=0$ 的绝对值函数也可以打标记做。
2. 维护平移下标。
3. 归并排序，或者直接将另一个凸壳并入有序结构。
  
  用 set，堆，平衡树等都能做。
4. 相当于在斜率归零的前/后赋 $0$。
  
  可以考虑平衡树维护，可以考虑对顶堆直接清空一侧。
5. 当闵可夫斯基和做，$O(r-l)$。复杂度较劣。
6. 区间赋值，二分到相应位置。
  
  只有 $k=0$ 好做。这时候退化为 4.
  
  否则就涉及区间覆盖操作了，只能用平衡树之类的做。
优点：可以很快速做闵可夫斯基和。

缺点：所需长度要有限，维护复杂度较高，且维护操作比较复杂，涉及到区间操作一般就只能上平衡树了。
维护斜率变化总量。abc217H

维护斜率变化点的更进一步形式，维护二元组 $(p,\Delta)$ 表示将斜率的差分数组 $c_p$ 加上 $\Delta$.

基本可以照搬斜率变化点的方法，但是需要注意二元组的合并（表达插多个的意思）。
维护凸壳顶点。

什么都能做。

做不了加法，代价非常大。
平衡树暴力维护分段一次函数。

直接存下每一段斜率对应的初始位置和结束位置，或者斜率变化点，用平衡树维护。

重型武器，全都能做，但是常数很大，代码很长，风险高
维护分段函数

有时候不止是一次函数，可能涉及高次函数，一般只能如此暴力处理。

附赠 AI 回答：

在 DP 优化和 Slope Trick 的语境下，“凸壳”指的是动态规划的状态函数 $f(x)$ 的图像（因为它是一个凸函数）。

对凸壳的操作，本质上就是函数变换。我们需要根据这些数学变换，找出对应的数据结构（通常是双堆）的操作。

以下是常见的凸壳操作、几何含义及其实现方式：

1. 点加 (Pointwise Addition)

公式： $g(x) = f(x) + h(x)$

这是最基础的操作。根据 $h(x)$ 的不同，处理方式也不同：

加常数： $h(x) = C$
- 含义：整个图像向上平移。
- 操作：min_val += C。不影响斜率和拐点，只影响记录的最小函数值。
加一次函数： $h(x) = kx + b$
- 含义：图像发生倾斜（旋转）。
- 操作：这会改变所有线段的斜率。
  - 如果在数据结构中维护的是“绝对斜率”，则需要打全局标记。
  - 但在 Slope Trick 的双堆实现中，堆维护的是“斜率变化的位置（拐点）”。加线性函数不会改变拐点的 $x$ 坐标，只会改变最底部的那个平坦段的斜率值（比如从 0 变成 $k$）。通常通过调整记录“最小值位置”的逻辑来处理，或者忽略它（如果只需要求最终的最值）。
加 V 型函数（核心）： $h(x) = |x - a|$
- 含义：在 $x=a$ 处，左侧斜率 -1，右侧斜率 +1。
- 操作：向左堆 $L$ 插入 $a$，向右堆 $R$ 插入 $a$。
- 注：如果是加一般的凸函数，可以分解为多个 $|x-a|$ 的叠加。

2. 坐标平移 (Translation / Shift)

公式： $g(x) = f(x - c)$

含义：整个图像向右平移 $c$ 个单位。
几何：所有的拐点 $x$ 坐标都变成了 $x + c$。
操作：
- 使用 Lazy Tag。
- 维护全局变量 lazy_L 和 lazy_R。
- 当 push 元素时，存入 val - lazy；当 pop 或 top 时，读出 val + lazy。
- 操作：lazy_L += c; lazy_R += c;

3. 取前缀/后缀最小值 (Prefix/Suffix Min)

公式： $g(x) = \min_{y \le x} f(y)$ （前缀最小）
公式： $g(x) = \min_{y \ge x} f(y)$ （后缀最小）

含义：将图像的一侧“拉平”。
- 前缀最小：图像右侧斜率 $>0$ 的部分全部变成斜率 $=0$。
- 后缀最小：图像左侧斜率 $<0$ 的部分全部变成斜率 $=0$。
操作：
- 对于 $\min_{y \le x}$：清空右堆 $R$（或者不断 pop 直到空）。此时函数在最低点及其右侧变成水平线。
- 对于 $\min_{y \ge x}$：清空左堆 $L$。

4. 窗口最小值 / 扩展 (Sliding Window Min / Expansion)

公式： $g(x) = \min_{x - r \le y \le x - l} f(y)$
这等价于 $(\min, +)$ 卷积的一个特例：$g(x) = \min_y (f(y) + h(x-y))$，其中 $h(x)$ 是在区间 $[l, r]$ 取值 0，其他地方取 $\infty$ 的函数。

含义：这是第 2 点和第 3 点的结合。它把函数图像中最底部的“平底”部分拉宽了。
- 最低点区间 $[min\_pos_L, min\_pos_R]$ 变成了 $[min\_pos_L + l, min\_pos_R + r]$。
- 左边的拐点向右移 $l$，右边的拐点向右移 $r$。
操作：
- lazy_L += l;
- lazy_R += r;
- 这个操作非常强大，常见于这就好比把 $f(x)$ 的那个“碗底”给拽宽了。

5. $(\min, +)$ 卷积 (Infimal Convolution)

公式： $g(x) = \min_{y} (f(y) + h(x-y))$

几何含义（Minkowski Sum）：
如果 $f$ 和 $h$ 都是凸函数，这个操作等价于几何上的 闵可夫斯基和。
直观地说，就是把两个函数的线段按斜率大小归并排序重新拼起来。
- 例如：$f$ 有一段斜率为 1 长度为 2 的线段，$h$ 有一段斜率为 1 长度为 3 的线段，那么 $g$ 会有一段斜率为 1 长度为 5 的线段。
常见特例：
如果 $h(x) = k|x|$ (即斜率为 $\pm k$)，这相当于限制了转移的“速度”。它会让 $f(x)$ 图像中斜率绝对值 $> k$ 的部分被“切掉”或者说被斜率 $k$ 的直线替代。

6. 函数合并 (Function Merge)

公式： $g(x) = f(x) + p(x)$ （其中 $f$ 和 $p$ 都是维护好的复杂凸函数）

场景：树上 DP，将子树的 DP 状态合并到父节点。
几何含义：两个凸函数的叠加。其拐点集合基本上是两个原函数拐点集合的并集。
操作：
- 启发式合并 (Small-to-Large)：将较小的堆中的元素暴力 pop 出来 push 到较大的堆中。复杂度 $O(N \log^2 N)$。
- 可并堆 (Leftist Tree / Skew Heap)：直接在 $O(\log N)$ 时间内合并两个堆。这是处理 Tree DP + Slope Trick 的标准做法。

7. 限制定义域 (Domain Restriction)

公式： 强制 $x \in [L, R]$，否则 $f(x) = \infty$。

几何含义：在 $x=L$ 左侧和 $x=R$ 右侧加上近乎垂直的“墙”。
操作：
- 向左堆 $L$ 中插入无穷多个 $L$（或者是需要的最大斜率数量）。
- 向右堆 $R$ 中插入无穷多个 $R$。
- 这会使得越过边界后的斜率迅速变得极大，从而在求最值时被排除。

8. 翻转 (Reflection)

公式： $g(x) = f(-x)$

含义：图像沿 Y 轴翻转。
操作：
- 交换左堆 $L$ 和右堆 $R$。
- 堆内的值取相反数（因为 $x$ 变为了 $-x$）。
- 这通常需要堆支持打“乘法标记”或者 Lazy Tag 配合交换指针。

总结表

数学操作	对应 DP 意义	Slope Trick (双堆) 操作
$+	x-a	$
$f(x-c)$	转移代价：常数位移	`lazy_L += c; lazy_R += c;`
$\min_{y \le x} f(y)$	只要前面的最优解	清空右堆 $R$ (或 `R` 只保留最小值点)
$\min_{x-r \le y \le x-l} f(y)$	滑动窗口转移	`lazy_L += l; lazy_R += r;`
$f(x) + g(x)$	树上子节点合并	启发式合并堆或使用左偏树
$x \in [L, R]$	加上边界墙	插入多个 $L$ 到左堆，多个 $R$ 到右堆

理解这些操作后，你就可以像搭积木一样，把复杂的 DP 方程分解成这些基本操作，然后用 Slope Trick 的模板“翻译”成代码。

在算法竞赛中，提到“DP 转移的凸壳维护”，通常有两种完全不同的场景。根据你的需求，可能指的是以下两种之一：

Slope Trick 的进阶维护：维护一个分段线性凸函数 $f(x)$（如上一条回答所述），但在树上合并或进行复杂操作。
斜率优化（Convex Hull Trick, CHT）：维护一堆直线 $y = kx + b$，求某点 $x$ 处的最大/最小值（即直线的下包络或上包络）。

以下是针对这两种场景的常见维护方式：

一、针对直线集合的优化：斜率优化 (CHT)

这是最常见的“凸壳维护”，通常处理形如 $DP[i] = \min_{j < i} \{ DP[j] + A[i] \times B[j] \} + C[i]$ 的转移方程。这类方程可以转化为直线形式 $y = kx + b$。

1. 单调队列 (Deque) —— 静态/单调场景

适用条件：斜率 $k$ 单调，查询坐标 $x$ 单调。
原理：
- 因为斜率单调，凸壳上的直线按顺序排列。
- 因为查询单调，最优解只会向一个方向移动。
- 使用双端队列维护凸壳上的点（直线交点）。队首用于弹出过时的最优解，队尾用于加入新直线并维护凸性（利用叉积或斜率比较）。
复杂度：$O(N)$，每个元素进出队列一次。

2. 二分查找 (Binary Search on Stack) —— 斜率单调，查询不单调

适用条件：插入直线的斜率 $k$ 是单调的，但查询的 $x$ 是无序的。
原理：
- 使用单调栈（或 std::vector）维护凸壳。
- 由于查询不单调，不能像 Deque 那样直接弹队首。需要在栈上进行二分查找，找到当前 $x$ 对应的最优直线。
复杂度：$O(N \log N)$。

3. 李超线段树 (Li Chao Tree) —— 动态场景的首选

适用条件：斜率 $k$ 无序，查询 $x$ 无序，甚至支持区间插入直线。
原理：
- 这是一种特殊的线段树。每个节点存储一条“优势直线”（在该区间中点处最优的直线）。
- 插入新直线时，通过比较中点的值，将劣势直线“下放”到左右子树递归处理。
- 查询时，从根走到叶子，取路径上所有直线在 $x$ 处的最大/最小值。
优点：代码比平衡树好写，常数小，支持区间加直线。
复杂度：$O(N \log (\text{值域}))$。

4. 动态凸包 (Dynamic Convex Hull using std::set)

适用条件：全动态（斜率、查询均无序），且值域很大不适合李超树。
原理：
- 利用 std::set 按照斜率排序存储直线。
- 维护每条直线与相邻直线的交点（有效区间）。
- 插入时，利用 iterator 检查与左右邻居的凸性，删除被覆盖的直线。
- 这个技巧常被称为 "LineContainer"（源自 KACTL 模板库）。
复杂度：$O(N \log N)$。

二、针对分段线性函数的优化：Slope Trick 进阶

如果你指的依然是上一条回答中的那种“分段函数”维护（Slope Trick），除了用两个优先队列（堆）之外，还有以下方式应对更复杂的操作：

1. 可并堆 (Mergeable Heaps)

场景：树上 DP。需要在树的节点处合并子树的 DP 状态（即合并两个凸函数 $f(x) + g(x)$）。
数据结构：左偏树 (Leftist Tree) 或斜堆 (Skew Heap)。
原理：
- Slope Trick 本质是维护拐点集合。
- 两个凸函数相加，等于它们的拐点集合的并集。
- 使用 std::priority_queue 合并是 $O(N)$ 的（启发式合并是 $O(N \log^2 N)$），而使用左偏树可以将合并优化到 $O(\log N)$。

2. 平衡树 (Treap / Splay)

场景：不仅仅是 $f(x) + |x-a|$，还涉及区间平移、区间取 $\min$、翻转、或者查询特定区间的函数值。
原理：
- 将拐点存储在平衡树中。
- 每个节点可以维护子树的斜率增量和、截距等信息。
- 可以通过 Lazy Tag 实现函数的区间平移 $(x \to x+c)$ 或值的平移 $(y \to y+c)$。
复杂度：$O(N \log N)$，功能最强但也最难写。

3. 线段树 (Segment Tree) 维护差分

场景：如果 $x$ 的范围比较小，可以直接在线段树上维护函数的斜率。
原理：
- 凸函数的二阶导（斜率的变化率）是非负的。
- 线段树维护每个位置的斜率值（或斜率的变化量）。
- 加 $|x-a|$ 等价于区间修改斜率。
- 查询最小值等价于在线段树上找斜率为 0 的位置。

三、其他相关优化技巧

除了上述几何结构的直接维护，还有两类技巧常用于凸性相关的 DP：

1. WQS 二分 (Aliens Trick / 带权二分)

问题类型：在凸函数上求“恰好选 $k$ 个物品”的最优解，或者有次数限制的问题。
原理：
- 如果 DP 状态 $(k, \text{cost})$ 构成的函数是凸的。
- 我们可以把限制 $k$ 去掉，改为每选一次物品付出额外代价 $\lambda$（Lagrange Multiplier）。
- 二分这个代价 $\lambda$，使得最优解恰好选了 $k$ 次。
效果：通常将 $O(N^2)$ 或 $O(NK)$ 优化为 $O(N \log (\text{值域}))$。

2. 决策单调性分治 (Divide & Conquer Optimization)

问题类型：$DP[i] = \min_{j < i} \{ DP[j] + w(j, i) \}$，其中 $w$ 满足四边形不等式。
原理：
- 不需要显式维护凸壳。
- 利用决策点 $opt[i]$ 单调递增的性质 ($opt[i] \le opt[i+1]$)。
- 通过分治法，先求出区间中点的最优决策，然后递归处理左右两边。
复杂度：$O(N \log N)$。

总结建议

如果是直线求最值（如 $ax+b$）：
- 简单/离线：李超线段树（首选，好写）。
- 必须在线且值域巨大：std::set 维护动态凸包。
如果是V型/碗型函数维护（如 $|x-a|$）：
- 序列问题：对顶堆 (Priority Queue)。
- 树上合并问题：左偏树 (Leftist Tree)。
如果是限制次数 $K$：
- WQS 二分。

posted @ 2026-01-27 20:55 spdarkle 阅读(29) 评论(0) 收藏举报

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凸壳的常见维护方式及其优劣

1. 点加 (Pointwise Addition)

2. 坐标平移 (Translation / Shift)

3. 取前缀/后缀最小值 (Prefix/Suffix Min)

4. 窗口最小值 / 扩展 (Sliding Window Min / Expansion)

5. \((\min, +)\) 卷积 (Infimal Convolution)

6. 函数合并 (Function Merge)

7. 限制定义域 (Domain Restriction)

8. 翻转 (Reflection)

总结表

一、针对直线集合的优化：斜率优化 (CHT)

1. 单调队列 (Deque) —— 静态/单调场景

2. 二分查找 (Binary Search on Stack) —— 斜率单调，查询不单调

3. 李超线段树 (Li Chao Tree) —— 动态场景的首选

4. 动态凸包 (Dynamic Convex Hull using std::set)

二、针对分段线性函数的优化：Slope Trick 进阶

1. 可并堆 (Mergeable Heaps)

2. 平衡树 (Treap / Splay)

3. 线段树 (Segment Tree) 维护差分

三、其他相关优化技巧

1. WQS 二分 (Aliens Trick / 带权二分)

2. 决策单调性分治 (Divide & Conquer Optimization)

总结建议

公告

数学操作	对应 DP 意义	Slope Trick (双堆) 操作
$+	x-a	$
\(f(x-c)\)	转移代价：常数位移	`lazy_L += c; lazy_R += c;`
\(\min_{y \le x} f(y)\)	只要前面的最优解	清空右堆 \(R\) (或 `R` 只保留最小值点)
\(\min_{x-r \le y \le x-l} f(y)\)	滑动窗口转移	`lazy_L += l; lazy_R += r;`
\(f(x) + g(x)\)	树上子节点合并	启发式合并堆或使用左偏树
\(x \in [L, R]\)	加上边界墙	插入多个 \(L\) 到左堆，多个 \(R\) 到右堆

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凸壳的常见维护方式及其优劣

1. 点加 (Pointwise Addition)

2. 坐标平移 (Translation / Shift)

3. 取前缀/后缀最小值 (Prefix/Suffix Min)

4. 窗口最小值 / 扩展 (Sliding Window Min / Expansion)

5. \((\min, +)\) 卷积 (Infimal Convolution)

6. 函数合并 (Function Merge)

7. 限制定义域 (Domain Restriction)

8. 翻转 (Reflection)

总结表

一、 针对直线集合的优化：斜率优化 (CHT)

1. 单调队列 (Deque) —— 静态/单调场景

2. 二分查找 (Binary Search on Stack) —— 斜率单调，查询不单调

3. 李超线段树 (Li Chao Tree) —— 动态场景的首选

4. 动态凸包 (Dynamic Convex Hull using std::set)

二、 针对分段线性函数的优化：Slope Trick 进阶

1. 可并堆 (Mergeable Heaps)

2. 平衡树 (Treap / Splay)

3. 线段树 (Segment Tree) 维护差分

三、 其他相关优化技巧

1. WQS 二分 (Aliens Trick / 带权二分)

2. 决策单调性分治 (Divide & Conquer Optimization)

总结建议

公告

一、针对直线集合的优化：斜率优化 (CHT)

二、针对分段线性函数的优化：Slope Trick 进阶

三、其他相关优化技巧