一类特殊的二进制卷积

F[S]=G[S&T]*H[T]

\[\begin{aligned} f_S&=\sum_Tg_{S\cap T}h_T\\ &=\sum_{T\subseteq S}g_{T}\sum_{I}[I\cap S=T]h_I\\ &=\sum_{T\subseteq S}g_{T}\sum_{I}h_I\sum_{T\subseteq N\subseteq I\cap S}(-1)^{|N|-|T|}\\ &=\sum_{N\subseteq S}(-1)^{|N|}\sum_{T\subseteq N}g_T(-1)^{|T|}\sum_{S\subseteq I}h_I\\ &=\sum_{N\subseteq S}(-1)^{|N|}\left(\sum_{T\subseteq N}g_T(-1)^{|T|}\right)\left(\sum_{N\subseteq I}h_I \right) \end{aligned} \]

F[S]=G[S|T]*H[T]

\[\begin{aligned} f_S&=\sum_{T}g_{S\cup T}h_T\\ &=\sum_{S\subseteq T}g_T\sum_{I\subseteq T}[S\cup I=T]h_I\\ &=\sum_{S\subseteq T}g_T\sum_{I\subseteq T}h_I\sum_{S\cup I\subseteq N\subseteq T}(-1)^{|T|-|N|}\\ &=\sum_{S\subseteq N}(-1)^{|N|}\sum_{I\subseteq N}h_I\sum_{N\subseteq T}g_T(-1)^{|T|} \end{aligned} \]

F[S]=G[S^T]*H[T]

这是诈骗，就普通 xor 卷积

F[S]=G[S&T]*H[S|T]

\[\begin{aligned} f_S&=\sum_{T}g_{S\cap T}h_{S\cup T}\\ &=\sum_{T\subseteq S}g_{T}\sum_{S\subseteq I}h_I \end{aligned} \]