省选集训 Day 3

学习了新知识：边三连通，耳分解，双极定向

下面是一些基础练习。

link

A

挺不错的问题。

考虑将一个点作为 \(G_0\)，一个个加入耳来构造边双连通图。

容易设计 \(f_S\) 并枚举子集转移，复杂度 \(O(3^nn^2)\) 左右。

太劣了，考虑将拼耳的过程纳入 DP。

设 \(f_{S,j,k}\) 为当前图已经填入了 \(S\) 的点，当前在填一个耳，填到了 \(j\)，目标为 \(k\)。

我们发现有重边的问题，而有可能使用两条边，所以记录次短边，最短边，不妨再加一维 \(0/1\) 表示能否直接连回去，使用最短边。

转移分为以下情况：

1. 直接连回去
2. 新开一个耳（枚举从哪个点走，走到外面哪个点，最终走到哪里）
3. 再走一步

B

神奇题目。

首先注意到一个大连通块可以删去 dfs 树上的叶子，因此不妨假设 \(A\le B\le C\)，我们只需要让 \(A,B\) 所代表连通块连通即可。

那么就会有 \(A\le B< \frac{n}{2}\)。

考虑树的情况，我们以重心为根， 将一整颗 \(sz\ge A\) 的子树划给它，然后其余划给 \(B\)，删叶子即可完成构造。

也就是找到一条边，满足断开后两个 \(sz\) 较小的 \(\ge A\)，较大的 \(\ge B\)，一个合理的构造是重心为根的最大儿子。

现在变成了一般图，考虑推广到 dfs 树上。

取 dfs 树重心，如果符合树的情况可以直接构造，否则考虑 \(dfs\) 树上过重心的返祖边，它们本质上是把各个子树连接在一起，在即使删掉重心之后，考虑删掉重心，构造出 \(A\) 所需点集，然后将剩下的给到 \(B\)。

将重心的各个儿子（包括根方向）看作一个点，根据返祖边判断连通性，由于只会与子树外相连，所以这个连通块唯一，我们逐个扫描这个连通块的点并累加 \(siz\)，如果加满了都不足 \(A\) 说明必然无解啊，否则在第一次加满时立刻退出，设当前加了 \(s\)，那么 \(s\le 2A\)，因此 \(n-s\ge 2B\)

那么剩下的也可以构造了。

C

一个自然的想法是建立圆方树，根据双极定向的结论，我们相当于是要选出一条方点链，然后需要在之后把这些方点链当一个点处理（也就是说，根据双极定向的要求，各个方点下面接的必须是一个“点”，而在目前是一个连通块，需要将一个连通块看作一个点）

那么就是删掉方点，然后将剩下的连通块缩成一个点，接着建立缩点后的原始图，此时原始图是可双极定向的，做双极定向划分各个点集的顺序。

---

那么现在我们的问题就是变成了如何找到最优的链。

考虑 \(dp\)，设 \(f_u\) 为圆方树 \(u\) 子树，\(u\) 在链上时的最小 \(\max |V|\)。

转移和计算其作为路径 lca 的贡献？

先来看转移，我们枚举链下面那个点 \(v\) 有：

1. \(f_u=\min_v\max(f_v,\max_{v_0\in Son(u),v_0\neq v}sz_{v_0})\)，当 \(u\) 是方点
2. \(f_u=\min_v\max(f_{v},\sum_{v_0\in Son(u),v_0\neq v}sz_{v_0}+1)\) 当 \(u\) 是圆点

注意到 \(\forall x,f_x\le sz_x\)，所以在情况 \(1.\) \(v\) 必然是重儿子，在情况 \(2.\) 其实同样是这样的（如果 \(v\) 不是重儿子，那么一定是 \(\sum\) 取较大值，与让 \(v\) 成为重儿子相比一定不优）

再来看计算答案：

1. \(res=\min_{v_0,v_1}(\max\lbrace f_{v_1},f_{v_0},n-sz_u,\max_{v\neq v_0,v_1,v\in Son(u)}sz_v\rbrace)\)，当 \(u\) 是方点
2. \(res=\min_{v_0,v_1}(\max\lbrace f_{v_0},f_{v_1},n-sz_u+\sum_{v\neq v_0,v_1,v\in Son(u)}sz_v\rbrace)\)，当 \(u\) 是圆点。

同样地，是否有 DP 计算类似的，必然取重儿子和次重儿子？

事实上确实是这样的，方点时易证，圆点时，同样地，如果 \(v_0,v_1\) 取不到重儿子，那么一定是取后面的 $\sum $，这一定大于将其一替换为重儿子后的权值（因为加上了重儿子 \(sz\) ），类似地，取了重儿子不取次重儿子也可以类似描述。

---

由这个 dp，我们还知道了决策点一定是重儿子和次重儿子，因此便可以直接提取出方点链，并双极定向求解了。

D

边三连通分量板子，略去。

E

与 A 是同质化问题，这里省略。

F

涉及混合图结论

混合图 \(G\) 能被定向为强连通图当且仅当满足：

1. 所有边看作无向边后边双连通
2. 将无向边看作两条有向边后强连通

某一条无向边一定存在一种定向让其定向后仍然满足这两个性质，所以可以直接枚举判断。

\(O(n^2)\)

G

双极定向的练习题

考虑到，我们所选的点有什么特征？先建立圆方树。

首先判掉 \(n=1\) 以及原图点双连通的情况，这时候直接取最小值作为端点跑双极定向即可。

由于原题存在类似于双极定向的要求（后缀），因此有唯一最终点，我们将其反着看可以推出如下信息：作为起始点，需要这个点双内部仅有一个割点，并且对于所有这样的点双，有一个作为最终到达的点，其余全部需要当作起始点。

因此我们贪心地，求出每个这样的起始点双里的非割点最小点权，并舍弃最大的那一个，让它作为终点。

这样就得到了选择初始点的方案，然后考虑怎么得到答案呢？可以通过双极定向的方法，从终点开始往回走，对每个走到的点双做双极定向，然后就类似于 St->Ed 这类。

也就是最开始确定终点，终点往其所在点双的割点做双极定向，然后现在就已经走出去了，对于一个走入的割点，同样地往其所在的所有未走过的点双重复找新的割点做双极定向。

需要注意的是其他割点怎么办呢？其实是容易的，这是一个类似于递归的过程，按照双极定向走出的顺序访问这个点双内的其他割点，并递归处理即可。

回溯时就可以输出方案了。