格路计数小记

格路计数小记

未加说明，我们均记录 \((0,0)\to (n,m)\)​

做 CF1967E1 记录

折线图与网格图互化

将网格图向上走与折线图向右上走等效，我们可以得到这样一个坐标变化：
折线图 \((n,m)\) 等效于网格图 \((\frac{n+m}{2},\frac{n-m}{2})\)

我们记 \(C(n,m)\) 为 \((0,0)\to (n,m)\) 在网格图下的路径条数，\(P(n,m)\) 为折线图下的路径条数，有：

\[P(n+m,n-m)=C(n,m)={n+m\choose n} \]

有一条直线不能碰到

一般网格图就是斜率为正负一的直线，折线图就是水平线。

我们都将其放在折线图下考虑，网格图 \(y=x+a\) 转到折线图就是 \(y=a\)。

根据碰撞转化，有不能碰到直线 \(y=a\) 的方案数是 \(P_1(n,m,a)=P(n,m)-P(n,2a-m)\)

有两条直线不能碰到

设直线 \(y=a,y=b\)

我们考虑逐步反射容斥，则其反射路径为：BABA.../ABAB....

那么总方案数就是 \(f(\varnothing)-f(A)-f(B)+f(AB)+f(BA)-\dots\)

有：

\[P_2(n,m,a,b)=P(n,m)-P(n,2a-m)-P(n,2b-m)+P(n,2b-(2a-m))+P(n,2a-(2b-m))\dots \]

逐步这样做，是 \(O(\frac{n}{|b-a|})\) 的。