光速幂

光速幂

神犇们YY出来的算法

问题：

求\(p^q \bmod n\)，其中\(p\)是定值，\(q\)的上限给定，\(n\le 10^9+7\)，是定值。即必须底数固定，模数固定。

询问次数大于\(10^7\)
很明显，这题卡了快速幂，所以我们考虑利用上\(p\)是定值这一条件。考虑拆解\(q\)，容易发现：\(q=\sqrt{q}\left\lfloor\frac{q}{\sqrt{q}}\right\rfloor+q\bmod \sqrt{q}\)。

证明这个式子的话，由于\(q\bmod \sqrt q=q-\sqrt{q}\left\lfloor\frac{q}{\sqrt{q}}\right\rfloor\)，带入即可

那么就有先用扩欧将\(q\)固定到一定范围，然后由于我们上面的式子为

\[p^q=p^{\sqrt{q}·{\frac{q}{\left\lfloor\sqrt q\right\rfloor}}}p^{p\bmod \sqrt{q}} \]

考虑预处理出\(p\)的\(1\sim\sqrt{n}\)次方，\(p^{\sqrt{n}}\)的\(1\sim \frac{n}{\sqrt{n}}\)次方，那么对于一个询问\(q\)，将\(q\)分解为\(k\sqrt{n}+t\)的方式即可解决