关于组合计数的一个小技巧

组合计数小技巧

一个关于组合计数的小技巧：这个问题是这样的，给定\(n\)个数\(a_1\sim a_n\)，要求出这\(n\)个数中所有组合的乘积之和

例如\(n=3\)时，即为：

\(a_1+a_2+a_3+a_1a_2+a_2a_3+a_1a_3+a_1a_2a_3\)

这个问题的解决是这样的

设\(f(i)\)表示前\(i\)项的和，则有

\[f(i)=a_i+f(i-1)+a_if(i-1),f(1)=a_1 \]

证明显然，拆开即得，从组合意义的角度来说，也即算上\(a_i\)单独一项，再算上之前的所有不含\(a_i\)的项，再将之前不含\(a_i\)的项乘上\(a_i\)