二分图公式汇总

二分图



注意，要分清题目给的是二分图，还是有向图，还是无向图。对于二分图可以直接求，而有向图或无向图，需要进行拆点，构成对应的二分图（虽然节点个数翻倍），再利用公式（一般公式最后都会除以 \(2\)，而原图（有向图或无向图）节点数即为二分图节点数 \(/\) \(2\)）。

最小点覆盖：用最少的点，覆盖所有边。即所有边的端点至少有一个点被使用过。

1、二分图最小点覆盖 \(=\) 二分图最大匹配数。

2、无向图最小点覆盖 \(=\)（该无向图的二分图节点数 \(-\) 该无向图的二分图最大匹配数）\(/\) \(2\)。

最短路径覆盖：用最少的路径数，来覆盖所有点。

1、有向图最小不相交路径覆盖：用最少的路径覆盖所有点，而且所有点在所有路径上只出现一次。

它的值为：有向图节点数 \(-\) 该有向图的二分图最大匹配数。

2、有向图最小可相交路径覆盖：用最少的路径覆盖所有点，不限制每个点在所有路径上出现的次数。

这种题在 有向图 建图完后，进行传递闭包，然后将所有能到达的两个点对 A->B 都作为了一条有向边。再对这个新的有向图进行拆点，变成二分图，然后就按照 不相交路径覆盖 来写了。
它的值为：有向图节点数 \(-\) 该有向图的二分图最大匹配数。

3、无向图最小路径覆盖： 对于此块内容，在网络上的公式只有：无向图节点数 \(-\) 其二分图最大匹配数 \(/\) \(2\) 。然而这个公式很容易验证是错的。
例如 3 个点， \(1-2-3\) ，对这个无向图拆分后的二分图最大匹配数为 \(2\) ，而这个无向图最小路径数显然为 \(1\) ，它并不等于公式上的 \(3\) \(-\) \(2\)\(/\)\(2\) 。

最小边覆盖：用最少边，来覆盖所有点。（注意与路径的区别）

1、二分图最小边覆盖：它的值为：原图二分图节点数（两边的节点之和） $-$ 原图二分图最大匹配数。

2、无向图最小边覆盖：它的值为：（其对应的二分图节点数 \(-\) 其对应的二分图最大匹配数）\(/\) \(2\) \(=\) 原图无向图节点数 \(-\) 其二分图最大匹配数 \(/\) \(2\) 。

最大独立集：选最多的点，这些点之间两两没有边相连

无向图最大独立集： 它的值为：原图无向图节点数 $-$ 其对应的二分图的最大匹配数 $/$ $2$ 。

最大独立团：在原图上选若干个节点，这些点两两间都有边连接。即原图的最大完全子图（顶点最多）

最大独立团的节点数 $=$ 补图的最大独立集。