CINTA hw7

4、证明勒让德符号的若干属性：

1. 如果a ≡ b ( mod p ) , 则(\(a \over p\))=(\(b \over p\));
2. (\(a \over p\))(\(b \over p\))=(\(ab \over p\));
3. (\(a^2 \over p\))=1

证明：

1. a≡b(mod p)

   1. a为模p的QR：
      a≡b≡x²(mod p)
      b也为模p的QR
      (\(a \over p\))=(\(b \over p\))=1
   2. a为模p的QNR：
      a≡b≢ x²(mod p)
      b也为模p的QNR
      (\(a \over p\))=(\(b \over p\))
      得证

2. (\(a \over p\))(\(b \over p\))=a^p-1/2b^p-1/2(mod p)
   (\(ab \over p\))=(ab)^p-1/2(mod p)
   (ab)^p-1/2=a^p-1/2b^p-1/2(mod p)
   得证

3. (\(a \over p\))=a^p-1/2(mod p)
   对于 (\(a^2 \over p\))
   (\(a^2 \over p\))=a^p-1=(a^p-1/2)²=1(mod p)
   得证

5、设 p 是一个奇素数，则：

\[\\-1 \over p \\=\left\{ \begin{aligned} 1 & & 如果p≡1(\bmod 4) \\ -1 & & 如果p≡-1(\bmod 4) \end{aligned} \right. \]

证明：

1. p≡1(mod 4)，令p=4k+1，
   有(-1)^(p-1)/2=(-1)^4k/2=1
2. p≡3(mod 4)，令p=4k-1，
   有(-1)^(p-1)/2=(-1)^4k-2/2=(-1)^2k-1=-1
   得证

6、设 p 是奇素数，请证明 Z_p^∗ 的所有生成元都是模 p 的二次非剩余。

令g为Z_p^∗ 生成元，有|g|=p-1
g^(p−1)≡1(mod p)
假设g为模p的二次剩余，
有g^(p-1)/2≡1(mod p)
矛盾，故Z_p^∗ 的所有生成元都是模 p 的二次非剩余。