CINTA hw5

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• 5、定义映射 Φ : G → G 为：g → g2。请证明 Φ 是一种群同态当且仅当 G 是阿贝尔群
• 6、设 ϕ : G → H 是一种群同态。请证明：如果 G 是循环群，则 ϕ(G) 也是循环群；如果 G 是交换群，则 ϕ(G) 也是交换群。
• 7.证明：如果H是群G上指标为2的子群，则H是G的正规子群
• 8.给定任意群 G，H 是群 G 的正规子群。请证明，如果群 G 是阿贝尔群，则商群 G/H也是阿贝尔群。
• 9.给定任意群 G，H 是群 G 的正规子群。请证明，如果群 G 是循环群，则商群 G/H也是循环群。

5、定义映射 Φ : G → G 为：g → g2。请证明 Φ 是一种群同态当且仅当 G 是阿贝尔群

证明

• 若 G 是阿贝尔群
  对于任意 a, b∈G 有 ab = ba
  证明Φ是群同态。
  令 a, b∈G 。
  对于 Φ 是群同态，要证明 φ(ab) =φ(a)φ(b) 。
  有：
  Φ(ab) = (ab)² = a²b² = φ(a)φ(b)
  则有若 G 是阿贝尔群，那么 Φ 是群同态。

• 如果 Φ是群同态，证明 G 必须是阿贝尔群。
  假设 φ是群同态。我们考虑 Φ(ab) = Φ(a)Φ(b) 对于所有 a, b 成立。令 a, b 属于 G 。那么：
  (ab)² = a²b²（Φ(g) = g²)
  由于(ab)^2 = a^2 b^2
  aabb = a^2 b^2
  abab = aabb
  为了使上式成立，必须有 ab = ba 。因此，G 必须是阿贝尔群。

综上所述，Φ是一种群同态当且仅当 G 是阿贝尔群。

6、设 ϕ : G → H 是一种群同态。请证明：如果 G 是循环群，则 ϕ(G) 也是循环群；如果 G 是交换群，则 ϕ(G) 也是交换群。

证明：
记g为G的生成元
要证Φ（G）=<Φ(g)>

• 证Φ(g)⊆<Φ(g)>
  ∀Φ(g)∈Φ(G)
  ∴g'=gⁱ
  Φ(g')=Φ(gⁱ)=(Φ(g))ⁱ∈<Φ(g)>
• 证<Φ(g)>⊆Φ(g)
  ∀Φ(g)ⁱ∈<Φ(g)>
  =Φ(gⁱ)(同态)
  ∴gⁱ∈G
  ∴Φ(gⁱ)∈Φ(G)

7.证明：如果H是群G上指标为2的子群，则H是G的正规子群

H左陪集数量为2，G/H中有两个左陪集gH与H

• 若g∉H，则gH≠H，Hg≠H
  有Hg=gH=G-H=H'
  gH=Hg
• 若g∈H，显然gH=Hg=H(封闭性)。

因此，gH=Hg对一切g∈G都成立，即H是正规子群。

8.给定任意群 G，H 是群 G 的正规子群。请证明，如果群 G 是阿贝尔群，则商群 G/H也是阿贝尔群。

证g₁H g₂H=g₂H g₁H
g₁H g₂H
=g₁g₂HH(正规子群)
=g₂g₁HH（阿贝尔群）
=g₂H g₁H

9.给定任意群 G，H 是群 G 的正规子群。请证明，如果群 G 是循环群，则商群 G/H也是循环群。

证明：
有：G= < g >
证：G/H= < gH >
∀gⁱH
∵gⁱ∈G
∴gⁱH∈G/H
∀gⁱH∈< gH >