第七章：查找

7.3 树表的查找

当表插入、删除操作频繁时，使用动态查找表，可以维护表的有序性。其中，表结构在查找过程中动态生成，给定key，若表中存在，则成功返回；否则，插入key。

7.3.1 二叉排序树

1. 定义：二叉排序树(Binary Sort Tree)又称二叉搜索树、二叉查找树。非空二叉排序树应该满足以下条件：
   (1)若其左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值
   (2)若其右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于等于根结点的值
   (3)其左右子树本身又各是一棵二叉排序树
   

• 中序遍历二叉排序树递增有序序列
  根45，左子树（左3——>根12——>右24——>37），右子树（左null——>根53——>右（左61（左空——>根61——>右90（左78——>根90——>右空））——>根100——>右空））
  

2. 查找
   与根结点比较大小，若大于等于根结点，则在右子树；否则在左子树。递归查找，直到在树中查找到等于key的根结点，查找成功；若没有找到该值，返回空值，查找失败。
   
   
   【算法思想】
   (1) 若二叉排序树为空，则查找失败，返回空指针。
   (2) 若二叉排序树非空，将给定key与根结点的关键字T->data.key进行比较：
   ① 若key = T->data.key，则查找成功，返回根结点地址;
   ② 若key < T->data.key，则进一步査找左子树;
   ③ 若key > T->data.key，则进一步查找右子树。
   
   在树中查找关键字与给定key相等的结点，比较关键字次数=该结点所在层数（最多比较次数=树的深度）

3. 二叉排序树的平均查找长度：
   含有n个结点的二叉排序树的平均查找长度ASL和树的形态有关。
   

• 如何提高形态不均衡的二叉排序树的查找效率？
  答：平衡化处理，尽量让二叉树的形状均匀。

4. 插入
   首先，比较根结点和即将插入的key的大小，插入key小于根结点的关键字，则到左子树去找，否则去右子树找；再跟左子树的根结点比较，插入key小于根结点的关键字，则到左子树去找，否则去右子树找...如此循环进行，直到要比较的根结点为空，即在该位置插入。
   【算法归纳】

• 若二叉排序树为空，则插入结点作为根结点插入到空树中
• 否则，继续在其左、右子树上查找
  1）树中已有，不再插入
  2）树中没有，查找直至某个叶子结点的左子树或右子树为空为止，则插入结点应为该叶子结点的左孩子或右孩子
  

5. 生成
   从空树出发，经过一系列查找、插入操作，可以生成一棵二叉排序树。 那么，一个无序序列可以通过构造二叉排序树而变成一个有序序列。构造树的过程就是对无序序列进行排序的过程。
   注：不同插入次序的序列生成不同形态的二叉排序树。

6. 删除
   从二叉排序树中删除一个结点，不能把以该结点为根的子树都删去，只能删掉该结点。要保证删除后的二叉树仍然是二叉排序树。

• 被删除的是叶子结点：直接删去该结点
  

• 被删除的结点只有左子树 or 只有右子树，用其左子树 or 右子树替换
  

• 被删除的结点包含左子树 and 右子树：一种是采用前驱替换，首先在左子树找到最大key的结点，将其作为左子树的双亲，同时删除该最大key的结点，修改其双亲的指针域为指向该node的孩子；另外一种是后继替换，首先在右子树找到最小key的结点，将其作为右子树的双亲，同时删除该最小key的结点，修改其双亲的指针域为指向该node的孩子。
  

因此，删除主要关注如何修改其双亲的指针域。删除之后的二叉排序树深度更小，查找效率更高，同时也让二叉树更平衡。

7.3.2 平衡二叉树

1. 定义：平衡二叉树(balanced binary tree)又称AVL树(Adelson-Velskii and Landis)，平衡二叉树一定是二叉排序树。一棵非空的平衡二又树是具有下列性质的二叉排序树
   ① 左子树与右子树的高度之差的绝对值小于等于1;
   ② 左子树和右子树也是平衡二叉排序树。
   平衡因子（BF）：平衡二叉树的左子树的高度 - 右子树的高度。由定义可知，BF取值{-1,0,1}。

• 判断平衡二叉树：
  
  对于一棵有n个结点的AVL树，其高度保持在\(O(log_{2}n)\)数量级，ASL（平均查找长度）也保持在\(O(log_{2}n)\)数量级。

2. 失衡二叉排序树的调整
   当我们在一个AVL树上插入一个结点后，有可能导致AVL树失衡，即出现平衡因子绝对值大于1的结点，如:2、-2.
   

• 4种失衡调整方法 平衡旋转
  插入一个结点，产生不止一个失衡结点，选择最小失衡子树（深度最小）的根结点作为失衡结点。
  ① LL型：插入在左子树的左子树上导致的失衡。\(\alpha\)和\(\beta\)是B左子树和右子树，h表示深度。
  
  

② LR型：插入在左子树的右子树上导致的失衡。

③ RL型：插入在右子树的左子树上导致的失衡。

④ RR型：插入在右子树的右子树上导致的失衡。

• 调整原则：1）降低高度 2）保持二叉排序树性质。LL型中顺时针把A拽下来（C<B<A），LR型把C拽上去（B<C<A），RL型把C拽上去（A<C<B），RR型中逆时针把A拽下来（A<B<C）。规律就是，最小的key结点在左子树，最大的key结点在右子树，中间key的结点上升。
  

3. 构建一个平衡二叉树
   根据输入关键字序列，构建二叉排序树；如果有失衡，则进行调整。再根据调整后的二叉树进行插入。这里每一步都要计算结点的平衡因子。

7.3.3 红黑树

B-树
B+树
键树

7.4 哈希表（散列表）的查找

7.4.1 基本定义

1. 基本思想：记录的存储位置与关键字之间存在对应关系（Hash函数）求的是存储位置
   

$Loc(i)=H(keyi)$

根据keyi关键字查Hash表中的值Loc(i)，该值为keyi存储的位置。若查不到则返回一个特殊值（空指针或空记录）
优点：查找效率高
缺点：空间效率低 e.g H(key)=k

2. 散列方法：选取某个函数H(key)，根据该函数输入key计算元素的存储位置，并按此存放。查找时，比较H(key)的关键码 与给定值k是否相等，来确定查找是否成功。其中，H(key)=k称为散列函数。根据上述思想构建的表称为散列表。

3. 冲突：不同的关键码映射到同一个散列地址。
   H(k)=k mod 7（关键字除以7取余，该余数为存储地址）
   

• 同义词：具有相同函数值的多个关键字。如图示的39、25和11。
  在散列查找方法中，冲突是不可避免的，只能尽可能减少。

7.4.2 散列函数的构造方法

1. 使用散列表要解决好两个问题，1)构造好的散列函数：(a)所选函数尽可能简单，以便提高转换速度;
   (b)所选函数对关键码计算出的地址，应在散列地址集中致均匀分布，以减少空间浪费。2)制定一个好的解决冲突的方案：查找时，如果从散列函数计算出的地址中查不到关键码，则应当依据解决冲突的规则，有规律地查询其它相关单元。

2. 构造散列函数考虑的因素：
   ①执行速度(即计算散列函数所需时间);
   ②关键字的长度;
   ③散列表的大小（希望散列的地址空间尽量少）
   ④关键字的分布情况（希望存放元素尽量均匀，避免冲突）;
   ⑤查找频率。
   常用的构造方法有：直接定址法、数字分析法、平方取中法、折叠法、除留余数法、随机数法

• 直接定址法：
  
• 除留余数法：更加常用（比其他散列函数好）
  

7.4.3 处理散列地址冲突的方法

处理冲突的方法：开放定址法(开地址法)、链地址法(拉链法)、再散列法(双散列函数法)、建立一个公共溢出区。

• 开放定址法:
  【基本思想】有冲突时就去寻找下一个空的散列地址，只要散列表足够大空的散列地址总能找到，并将数据元素存入。\(d_{i}\)为增量序列，定义增量序列有几种常用方法：线性探测法、二次探测法、伪随机探测法

一个线性探测法例子：散列表的长度为11。按照顺序存储输入序列的关键码，当遇到冲突时，采用线性探测法构造\(H_{1}\)，其中\(d_{i}\)取1，存储位置往后移一位，如果该位置为空，则在此位置存储关键码；否则继续后移（使用更新的\(H_{i}\)），直到找到空位置。（先到先得，先安排最前的关键码）

平均查找长度ASL：

一个二次探测法例子：基于\(H_{1}\)找到的散列地址仍然冲突，则继续尝试\(H_{2}\)寻找新的散列地址...直到找到空的散列地址来存储关键码。

• 链地址法：比开放地址法要好
  【基本思想】相同散列地址的记录，将其链成一单链表。m个散列地址就设m个单链表，然后用一个数组将m个单链表的表头指针存储起来，形成一个动态的结构。
  

具体实现步骤：
① 取数据元素的关键字key，计算其散列函数值(地址)。若该地址对应的链表为空，则将该元素插入此链表;否则，执行②解决冲突。
② 根据选择的冲突处理方法，计算关键字key的下一个存储地址。若该地址对应的链表不为空，则利用链表的前插法或后插法将钙该元素插入此链表。

优点：1）非同义词（由于探测导致的，原同义词向非同义词位置移动，而产生冲突）不会冲突，无“聚集”现象；2）链表上结点空间动态申请，更适合于表长不确定的情况。

7.4.4 散列表的查找

• 和处理冲突的思路一致：
  

• 散列表的查找效率分析：ASL与装填因子α有关。