决策树应用：称重找赝品问题

你提到的这个问题是经典的利用天平称重找出赝品的问题，而你说得非常对——这类问题本质上与决策树（特别是二叉或三叉搜索树）有关。我们来系统地分析这类问题的解法，以及如何用数据结构（尤其是决策树）的思想来建模和求解。

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一、问题描述（经典版本）

有 $ n $ 个外观相同的商品，其中 1 个是赝品，赝品质量与正品不同（可能更轻或更重），但不知道是轻还是重。
使用天平秤（可以比较两组物品的重量），问：最少称几次，可以保证找出赝品并确定它是轻还是重？

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二、关键思想：决策树模型

每一次称重，天平有 3 种结果：

1. 左边重
2. 右边重
3. 两边相等

所以，每一次称重最多提供 $ \log_2 3 \approx 1.58 $ 比特信息，更准确地说，一次称重有 3 种可能结果，因此 $ k $ 次称重最多可以区分 $ 3^k $ 种不同情况。

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三、状态总数分析

对于 $ n $ 个物品，其中 1 个是赝品，且不知道是轻还是重：

• 每个物品都可能是赝品
• 每个赝品有两种可能：偏轻 或 偏重

所以，总共可能的状态数是：

\[2n \quad \text{（每个物品 × 2 种异常：轻或重）} \]

为了能唯一确定是哪一个物品、以及它是轻还是重，必须满足：

\[3^k \geq 2n \]

两边取对数：

\[k \geq \log_3(2n) \]

所以，最少称重次数为：

\[k_{\min} = \lceil \log_3(2n) \rceil \]

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四、举例说明

例1：12 个商品

\[2n = 24,\quad \log_3(24) \approx \log_{10}(24)/\log_{10}(3) \approx 1.38/0.477 \approx 2.89 \Rightarrow \lceil 2.89 \rceil = 3 \]

所以，至少称 3 次，就能找出 12 个商品中的赝品（并判断轻重）。

这是经典问题：“12球问题，3次称出假球”。

例2：13 个商品

\[2n = 26,\quad \log_3(26) \approx 3.00 \Rightarrow \lceil \log_3(26) \rceil = 3 \]

仍然只需 3 次。

例3：14 个商品

\[2n = 28,\quad \log_3(28) \approx 3.03 \Rightarrow \lceil \log_3(28) \rceil = 4 \]

需要 4 次。

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五、与二叉/三叉树的关系

你提到“二叉搜索树”，其实更准确地说，这是一个三叉决策树：

• 每次称重有 3 种结果 → 三叉分支
• 树的叶子节点数最多为 $ 3^k $
• 每个叶子对应一种可能的“赝品+轻重”组合
• 所以要满足：叶子数 ≥ 状态数（即 $ 2n $）

因此，最小深度 $ k $ 满足 $ 3^k \geq 2n $

这就是信息论下界，也是最优策略的理论极限。

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六、算法设计思路（构造策略）

虽然我们可以通过不等式求出最少次数，但实际构造称重策略需要更精细的设计。常用方法：

1. 分组称重：每次将物品分为三组（两组称重，一组不称）
2. 编码法：给每个物品分配一个三进制编码（0: 不参与；1: 放左边；2: 放右边），确保所有可能结果能唯一对应一个物品和轻重状态
3. 递归划分：利用称重结果缩小嫌疑范围

例如，在 12 球问题中，第一次称 4 vs 4：

• 若平衡：赝品在剩下的 4 个中
• 若不平衡：赝品在称过的 8 个中，且知道轻重倾向

然后递归处理。

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七、特殊情况说明

1. 如果已知赝品是轻的（或重的）
   则每个物品只有 1 种异常状态，总状态数为 $ n $，所以：

   \[3^k \geq n \Rightarrow k \geq \lceil \log_3 n \rceil \]

2. 如果允许使用标准砝码（不是物品之间比较）
   情况不同，信息量更少（通常为二元结果），此时更接近二叉树模型。

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八、总结：通用解法步骤

对于“n 个物品，1 个赝品（轻重未知），天平称重”问题：

1. 计算总可能状态数：$ 2n $
2. 求最小 $ k $ 使得 $ 3^k \geq 2n $
3. 答案：$ \boxed{k = \lceil \log_3(2n) \rceil} $
4. 实际策略可通过三叉决策树构造，每次称重尽量使三种结果对应的后续状态数均衡

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九、代码实现（Python 示例）

import math

def min_weighings(n):
    return math.ceil(math.log(2 * n, 3))

# 示例
print(min_weighings(12))  # 输出 3
print(min_weighings(13))  # 输出 3
print(min_weighings(14))  # 输出 4

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十、延伸思考

这类问题属于信息论与决策树结合的经典案例，体现了：

• 信息熵：每次称重获取的信息量
• 最优策略：使决策树最平衡
• 下界证明：$ \lceil \log_3(2n) \rceil $ 是理论最小值，无法突破

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✅ 结论：
通过将称重过程建模为三叉决策树，我们可以用信息论方法求出最小称重次数：

\[\boxed{k = \lceil \log_3(2n) \rceil} \]

这正是你在数据结构中学到的“决策树”思想在实际问题中的精彩应用！