面试题——约瑟夫环

约瑟夫环问题的递推公式：

\[f(1, k) = 0 \\ f(n, k) = (f(n - 1, k) + k) \% n \]

这个公式是从递归的角度出发，通过观察子问题之间的关系推导出来的。下面我们一步步解释它的推导过程和数学原理。

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🧠 一、理解问题结构

我们定义：

• $ f(n, k) $：表示当有 n 个人围成一圈，每数到 k 的人被淘汰时，最后幸存者的编号（从 0 开始）

目标是找出这个函数的表达式。

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🎯 二、从简单情况入手

情况一：n = 1

只有一个人，当然他是幸存者：

\[f(1, k) = 0 \quad (\text{因为编号从 0 开始}) \]

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🔁 三、从 n 到 n - 1 的递归思路

考虑有 n 个人的情况：

0, 1, 2, ..., (k-2), (k-1), k, ..., n-1

从第一个人开始报数，第 k 个被淘汰的人的编号是：

\[(k - 1) \mod n \]

也就是编号为 k - 1 的那个人被淘汰。

这时剩下的是：

0, 1, ..., k-2, k, ..., n-1 （共 n-1 个人）

下一轮从被淘汰者的下一个位置（即编号 k % n）开始继续报数。

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🔄 四、重新编号的思想

现在我们的问题变成了一个规模更小的约瑟夫环问题（n - 1 个人），但他们的编号不是连续的了。

为了简化问题，我们可以对剩下的 n - 1 个人进行重新编号，以新的起始点为 0。

例如：

• 原来编号为 k % n 的人变成新编号中的 0
• 接下来依次编号：k % n → 0, (k+1) % n → 1, ..., (k-1) % n → n-2

设在新编号体系中，最后幸存者的编号是 x，那么它在原编号体系中的编号应该是：

\[(x + k) \mod n \]

这就是我们递推的核心思想！

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📚 五、建立递推关系

我们设：

\[f(n, k):= \text{在 n 个人中，每次数到 k 的人的最终幸存者编号（从 0 开始）} \]

如果我们知道：

\[f(n - 1, k):= \text{在 n - 1 个人中，每次数到 k 的人的最终幸存者编号} \]

那么根据上面的重新编号分析，可以得到：

\[f(n, k) = (f(n - 1, k) + k) \mod n \]

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✅ 六、边界条件

初始条件是：

\[f(1, k) = 0 \]

因为只剩一个人，他自然是幸存者。

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🧮 七、举例验证

以 n = 5, k = 2 为例：

• f(1, 2) = 0
• f(2, 2) = (0 + 2) % 2 = 0
• f(3, 2) = (0 + 2) % 3 = 2
• f(4, 2) = (2 + 2) % 4 = 0
• f(5, 2) = (0 + 2) % 5 = 2

所以编号是 2（从 0 开始），如果要从 1 开始，则加 1 得到 3。

与前面模拟结果一致 ✅

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🧩 八、总结

步骤	内容
1.	从简单情况入手，设定初始值 f(1, k) = 0
2.	淘汰第一个数到 k 的人，问题变成 n - 1 的子问题
3.	使用“重新编号”技巧，将子问题映射回原问题
4.	推导出递推公式：f(n, k) = (f(n - 1, k) + k) % n
5.	最后加上 1 可以转换为从 1 开始的编号

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如果你还想看到递归实现或非递归实现的代码，或者想扩展到多个幸存者的情况，我也可以继续为你讲解 😊