QOJ12118 Dendrology 解题报告

QOJ12118 Dendrology 解题报告

题目大意

给定一颗树，对于一个点集 \(S\)，定义 \(f(S)\) 表示包含 \(S\) 中所有点的最小联通子图的节点数；\(S_{l,r}=\{i | l\le p_i\le r \}\)，\(g(p)=\sum_{1\le l\le r\le n} f(S_{l,r})\)。给定一个排列 \(p\)，树上第 \(i\) 个节点的编号为 \(p_i\)。有一些修改操作，每次交换指定边两个端点的编号，求出 \(g(p)\)。

思路分析

考虑刻画 \(f(S)\)。由于是在树上，求最小联通子图相当于求一颗虚树，考虑这可虚树的点的数量如何计算，显然，其等于 \(S\) 中任意两点的最短路径上的所有点之和；如何形式化地刻画呢，由于修改操作和边强相关，于是不妨使用边来刻画这个信息，得到：

\[f(S)=1+\sum_{e\in E} [边 e 的两侧都有 S 中的点] \]

将 \(f(S)\) 的表达代入 \(g(p)\)，得

\[g(p)=\sum_{l\le r}1+\sum_{e\in E}\sum_{l \le r}[边e的两侧都有目标点] \]

记 \(I(A)\) 表示集合 \(A\) 在值域上连续子区间的数量 \(^{[1]}\)，由容斥原理可以得到

\[\begin{aligned} g(p)&=\frac{n(n+1)}{2} + (n-1)\frac{n(n+1)}{2}-\sum_{v \ne 1} \big( I(A_v)+ I(\bar{A_v}) \big)\\ &=n \frac{n(n+1)}{2}-\sum_{v \ne 1} \big( I(A_v)+ I(\bar{A_v}) \big) \end{aligned} \]

现在，核心问题就变成如何计算 \(I(A_v),I(\bar{A_v})\)。

注意到，每次交换操作只会影响子节点的子树的集合，而其他部分的集合由于构成元素未发生变化，因此不会改变。于是不妨只去维护 \(\delta(I(A_v)+I(\bar{A_v}))\)。

具体的，利用 set 维护值域上被连续选中的点的编号，在加入/删除点时动态维护 \(I(A_v),I(\bar{A_v})\)，然后在如此递归计算得到每一个点的贡献后，使用 DSU On Tree 自底向上合并答案。对于每次修改，直接暴力变更然后记录变化量，最后就可以跑一遍前缀和得到最终答案。

注释

[1] : 由于题目中求的是 \(S_{l,r}\) 这样一个连续编号区间，因此我们要知道一个点为根的子树内包含了多少个连续区间，也就是值域上的连续段。