QOJ 9220 Bus Analysis 思路分析

QOJ 9220 Bus Analysis 思路分析

朴素想法

额，好吧，这个题我还真没有什么想法。。。

正解思路

首先，由于票价都是偶数，不妨先除以二，最后再乘回去就行。

考虑一个确定的检票员集合 \(T=\{t_1,t_2,t_3\dots t_m \}\)，对于集合 \(T\) 考虑构造一个 DP 求对应的答案。先确定有哪些限制：有且仅有当前手中的票的有效时间这一个限制，但由于 \(t_i\in [1,10^9]\)，可是要求的票价最多只有 \(7.5\times 10^4\)，可以当做状态，于是考虑价值维 DP，有

\[f[i][j] \text{表示已经通过前 $i$ 个检票员，当前花费了 $j$ 元时，手中的票剩余有效时间} \]

对于转移，进行分类讨论，设 \(d=t_i-t_{i-1}\)：

1. 当前站没有检票员：\(f[i][j]=\max(0,f(i-1,j)-d)\)
2. 当前站有检票员，要求 \(f[i][j] > 0\)，对于两种价格，分别有 \(f[i][j+1]=\max(f[i][j+1],f[i][j]+20)\)，\(f[i][j+3]=\max(f[i][j+3],f[i][j] + 75)\)

合并一下并进行滚动数组优化，得到

\[f_{new}[j]=\max(f_{old}[j],f_{old}[j-1]+20,f_{old}[j-3]+75) \]

若处理完第 \(i\) 个站点后，当前最小代价为 \(w\)，那么为了保证之后无论遇到怎样的检查员站点，我们仍然能够正确进行最优转移，需要保留哪些“比 \(w\) 多一点”的方案？显然 \(w,w+1,w+2\) 是必须的，而 \(w+3\) 以上的完全可以在后续转移中用更优的方式转移，因此只用记录 \(w,w+1,w+2\)，\(w+3\) 在转移中记录即可。

于是我们可以得到一个三元组 \(A,B,C\) 分别表示 \(w,w+1,w+2\) 时剩余的时间，那么我们得到了 \(f\) 最终最有用的信息，也就是内层 DP 形成的 DFA 的状态。

对于这个 DFA，其输入串是一个 01 串表示一个车站是否有检票员。考虑 DFA 的 0 转移和 1 转移：

1. 0 转移情况：\((A,B,C)⟶(\max(0,A−d),\max(0,B−d),\max(0,C−d))\)；
2. 1 转移情况，先令 \(r=\max(0,A−d)\)，\(r_1=\max(0,B-d)\)，\(r _2=\max(0,C-d)\)，然后不妨用一个小的 DP 进行这里的转移。设 \(g_i\) 表示在当前站通过检查后，相对于旧的最优费用 \(w\)，额外花 \(j\) 块钱时，最多还能撑多久。有 \(g_j=\max(g_j,g_{j-1}+20,g_{j-3}+75)\)，由于我们只需要 \(w,w+1,w+2\)，所以 \(j\) 只需要跑到 \(5\) 即可

那么考虑据此构造一个外层 DP 用于快速计算全部 \(2^N\) 组串的答案。

设 \(F_i[A][B][C]\) 表示处理完前 \(i\) 个站之后，有多少种检查员方案会使内层 DP 恰好处于状态 \((A,B,C)\)。

• 外层 0 转移：假设 \(F_i[A][B][C]=X\) 为有 \(X\) 种检票员进入状态 \((A,B,C)\)，若 \(i+1\) 没有检票员，则

\[F_{i+1}[A'][B'][C']+=X \]

• 外层 1 转移：多一个系数 \(k\)，为 \(k\times X\)

于是就得到了最终结果。