GYM106559B Buhăiești / 转身后退 思路分析（待补）

GYM106559B Buhăiești / 转身后退 思路分析

朴素想法

题目主要限制有两项：\(\text{mex}_{j=1}^{i}a_j\le \text{mex}_{j=1}^{i}b_j\)，\(A\) 字典序严格小于 \(B\)。
将限制加入状态考虑，那么状态应包含以下元素：

1. 处理位置枚举变量 \(i\)；
2. 前缀 \(\text{mex}\) 值 \(j\)

如何处理字典序限制？ \(\rightarrow\) 类似与数位 DP，可以钦定前 \(i-1\) 位全都达到上限，考虑第 \(i\) 位的填值情况。那么再加入状态 \(0/1\) 表示是否达到上限。

问题分析

上述状态定义存在一个内部自指：若 \(i\) 填值将原本 \(\text{mex}\) 覆盖了，新的 \(\text{mex}\) 取决于之前哪些值填了，而这项信息缺失了。若枚举新的 \(\text{mex}\)，会出现不合法的转移链。

改进想法

此时不难发现对于一个序列，我们能够确定的信息只有 \(\text{mex}\) 以前的元素是必然存在的，\(\text{mex}\) 及其以后的值若已经填了 \(x\) 个，那么是一个在对应值域中离散分布的 \(x\) 个元素。这样序列就被分为了两段，前一段是确定部分，可以通过转移得到确定信息，而离散部分在之后的转移中会被确定下来，即它们是候选确定值，间接影响转移。

由上述分析可以得到一种延时确定 DP 的构造方式，设首次小于 \(B_i\) 的位置是 \(p\)：

\[dp[i][j][k][t=0/1] \text{前缀 $\text{mex}$ 为 $j$,除 $a_p$ 外，在离散值域中存在的元素有 $k$ 个,$a_p$ 是否确定} \]

我们将字典序的限制变为更本质的方式确定，也就是钦定 \(i-1\) 位后第 \(i\) 位的本质含义——\(i\) 位首次小于 \(B_i\)。

考虑转移，对于当前取值进行分类讨论，记已出现的值的集合为 \(S\)：

1. 已经出现，\(dp\) 系数为 \(j + |S\cap (j,m]| + k + t\)；
2. 未出现且 \(>j\)，系数为 \(k+1\)；
3. 填 \(j\)，枚举下一个 \(\text{mex}\)，设为 \(r\)，记 \(x=|(j,r)\setminus S|\)，\(y=|(j,\min(r,b_p))\setminus S|\)，那么就转移到 \((r,k-x,t)\)，系数为 \(1\)，若 \(t=1\)，还可以转移到 \((r,k-x+1,0)\)，系数为 \(y\)。

令 \(u=|(j,m]\setminus S|\)，\(v=|(j,b_p)\setminus S|\)。剩余值的系数为 \(\binom{u}{k},(l=0)\) 或 \(v\binom{u-1}{k},(l=1)\)。