P9197 [JOI Open 2016] 摩天大楼 / Skyscraper 思路分析

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朴素想法

对一个序列进行 DP，限制条件与一个位置相邻的元素相关，对总和限制；特殊点，绝对值运算和相对大小强相关，不妨从小到大考虑以减弱绝对值的影响。将限制条件加入状态，于是得到：

\[dp[i][j][k] \text{表示从小到大考虑到 $a_i$，其前驱为 $a_j$，当前总和为 $k$ 的方案数} \]

问题分析

相邻元素包含前驱和后继，这样定义状态没有考虑后继点的影响；进一步的，这就影响到 \(a_i\) 是否会与已有元素连成一条链。

完善想法

通过分析问题所在，发现这个 DP 应和区间连通信息相关，同时对于一个点，其本身又和是否是某个区间的开头结尾有关，这样我们就得到了两条新的限制，用于替换和增强原本的 \(j\) 一维。

于是有：\(dp[i][j][k][t=0/1/2]\) 表示从小到大插入到了 \(a_i\)，形成了 \(j\) 段，当前总和为 \(k\)，占用了 \(0/1/2\) 个最终边界。状态复杂度 \(O(n^2m)\)。

考虑如何进行转移，类似插入 DP，看当前加入 \(a_i\) 后是否会有新段出现、旧段合并、原段扩展。
设 \(k'\) 为当前新的总和，那么有 \(k'=k+(2j-t)\times(a_i - a_{i-1})\)，

1. 新段出现：
   （1）不占用最终边界：\(dp[i][j+1][k'][t]+=dp[i-1][j][k][t]\times (j+1-t)\)；
   （2）占用一个最终边界：\(dp[i][j][k'][t+1]+=dp[i-1][j][k][t]\times (2-k)\)；
2. 旧段合并：\(dp[i][j-1][k'][t]+=dp[i-1][j][k][t]\times (j-1)\)
3. 原段扩展：\(dp[i][j][k'][t]+=dp[i-1][j][k][t]\times (2j-t)\)

最终答案为 \(\sum_{l=0}^{L}dp[n][1][l][2]\)，时间复杂度 \(O(n^2m)\)。