拉格朗日反演

拉格朗日反演法

内容

设一个复平面上的函数 \(x=f(y)\)，以及点对 \((x_0,y_0)\)，它唯一确定了一个幂级数

\[y-y_0=\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x-x_0)^n \]

则有

\[\begin{aligned} a_n&=\frac{1}{n}[y^{n-1}]\Big(\frac{y}{f(y)}\Big)^n\\ &=\left. \frac{1}{n!}\Big(\frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}y^{n-1}}\big(\frac{y-y_0}{x-x_0} \big)^{n} \Big) \right|_{y=y_0} \end{aligned} \]

其中 \([y^{n-1}]\) 表示提取 \(\Big(\frac{y}{f(y)}\Big)^n\) 中 \(y^{n-1}\) 的系数。

证明

对于复函数 \(z=f(y)\)，设 \(g(w)\) 满足 \(f(g(z))=z\)，且已知 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 处的泰勒展开，那么根据柯西积分公式有

\[\begin{aligned} g(w)&= \frac{1}{2\pi i} \oint_{\overline{w}}\frac{g(\lambda)}{\lambda-w} \mathrm{d} z\\ &=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\overline{z}} \frac{zf'(z)}{f(z)-w}\mathrm{d}z \end{aligned} \]

对 \(\frac{zf'(z)}{f(z)-w}\) 进行泰勒展开：

\[\begin{aligned} \frac{zf'(z)}{f(z)-w} &= zf'(z)\times \frac{1}{f(z)-w}\\ &= zf'(z)\times\frac{1}{f(z)}\times\frac{1}{1-\frac{w}{f(z)}}\\ &=\frac{zf'(z)}{f(z)}\sum_{n=0}^{\infty}\Big(\frac{w}{f(z)} \Big)^n \end{aligned} \]

代入得到

\[\begin{aligned} g(w)&= \frac{1}{2\pi i} \oint_{\overline{w}}\frac{g(\lambda)}{\lambda-w} \mathrm{d} z\\ &=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\overline{z}} \frac{zf'(z)}{f(z)-w}\mathrm{d}z\\ &=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\overline{z}}\frac{zf'(z)}{f(z)}\sum_{n=0}^{\infty}\Big(\frac{w}{f(z)} \Big)^n\mathrm{d}z\\ &=\frac{1}{2\pi i}\sum_{n=0}^{\infty}w^n\oint_{\overline{z}}\frac{zf'(z)}{f^{n+1}(z)}\mathrm{d}z\\ &=\frac{1}{2\pi i}\sum_{n=0}^{\infty}w^n\oint_{\overline{z}}\frac{1}{nf^{n}(z)}\mathrm{d}z\\ \end{aligned} \]

由留数定理，得 \(g(w)\) 在 \(0=f(0)\) 时的展开

\[\begin{aligned} g(w)&=\frac{1}{2\pi i}\sum_{n=0}^{\infty}w^n\oint_{\overline{z}}\frac{1}{nf^{n}(z)}\mathrm{d}z\\ &= \left. \sum_{n=0}^{\infty}w^{n}\times \frac{1}{n!}\frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}z^{n-1}}\Big[\frac{z}{f(z)} \Big]^n \right|_{z=0} \end{aligned} \]

推广到一般形式，即 \(g(w)\) 在 \(w_0=f(z_0)\) 处的展开，为

\[z = z_0+\left. \sum_{n=0}^{\infty}w^{n}\times \frac{1}{n!}\frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}z^{n-1}}\Big[\frac{z-z_0}{f(z)-w_0} \Big]^n \right|_{z=z_0} \]

考虑到当 \(g(w)=\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n\) 时，不难得到

\[a_n=\left. \frac{1}{n!}\Big(\frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}y^{n-1}}\big(\frac{y-y_0}{x-x_0} \big)^{n} \Big) \right|_{y=y_0} \]

证毕。