浅谈插入DP

插入 DP

定义

插入 DP 是一类用于解决状态转移过程与相邻的已插入元素相关的 DP 问题，此类问题一般具有若只考虑在序列两端插入，问题将容易解决的特点。因此，插入 DP 是一类计数类 DP \(^{[1]}\)。

特征

  • 题目特征

  1. 有排列性质
  2. \(100\le n \le 5\times 10^3\)
  3. 答案和排列的上升下降拐点有关

  • 转移特征

    插入操作仅在连续段的两端进行。

状态&转移

1. 状态的定义

一般情况 \(^{[2]}\) ，设 \(dp[i][j]\) 表示前 \(i\) 个元素，构成 \(j\) 个连续段的方案数。

2. 转移

(1) 考虑情况：

a. 插入元素成为新的一段
b. 插入元素至一个已有连续段的两端
c. 插入元素使两个已有连续段合并

(2) 转移方程

对于情况 a，有

\[dp[i+1][j+1]=dp[i][j]\times (j+1) \]

其中，\((j+1)\) 表示可以在 \(j\) 段之间任意插入的位置。
对于情况 b，有

\[dp[i+1][j]=dp[i][j]\times 2j \]

对于情况 c，有

\[dp[i+1][j-1]=dp[i][j]\times (j-1) \]

其中，\(j\) 给连续段合并共有 \(j-1\) 中情况。

例题

1. [CF466D]Increase Sequence

题目大意

给定一个序列，可以对若干对区间 \([l,r]\) 中的数 \(+1\)，且保证任意两个区间的左右端点不重合（即 \(l_1 \ne l_2\) 且 \(r_1 \ne r_2\)）。

最终要求序列中所有元素值都等于 \(h\)，请输出总方案数对 \(10^9+7\) 取模后的结果。

输入格式

第一行两个数字 \(n\) 和 \(h\)。

接下来一行 \(n\) 个数字 \(a_i\)。

输出格式

共一行，为总方案数对 \(10^9+7\) 取模后的结果。

说明/提示

\(1 \le n,h \le 2000\)

\(0 \le a_i \le 2000\)

分析

限制条件为要将所有元素变为 \(h\)，求方案数。发现涉及连续段的求解操作且可以通过前缀和转化为段两端的操作，故考虑使用插入 DP。
:::info[如何构造？]
构造 \(dp[i][j][0/1]\) 表示插入前 \(i\) 个元素，有 \(j\) 个未闭合区间，是否同时在段两端 \(+1\)。
:::
:::info[如何转移？]
由以上构造分析，得出如下转移：

\[dp[i+1][j][0]=dp[i][j][0]+dp[i][j][1]\\ dp[i+1][j+1][0]=dp[i][j][0]+dp[i][j][1]\\ dp[i+1][j-1][0]=(dp[i][j][0]+dp[i][j][1])\times j\\ dp[i+1][j][1]=(dp[i][j][0]+dp[i][j][1])\times (j+1) \]

答案为 \(dp[n][0][0]+dp[n][0][1]\)。
:::

2. [Atcoder_dp_t]Permutation

题目描述

给定一个正整数 \(N\) 和一个由小于号 < 和大于号 > 组成的长度为 \(N-1\) 的字符串 \(s\)。

你需要找到一个排列 \((p_1,\ p_2,\ p_3,\ ...,\ p_N)\)，满足对于任意 \(i\ (1 \leq i \leq N-1)\)，如果 \(s_i\) 为 < 则 \(p_i < p_{i+1}\)，如果 \(s_i\) 为 > 则 \(p_i > p_{i+1}\)。求满足性质的排列 \(p\) 的方案数对 \({10}^{9}+7\) 取模后的值。

输入格式

请按照以下格式输入：

\(N\)

\(s\)

输出格式

输出满足条件的方案个数对 \({10}^{9}+7\) 取模后的值。

数据范围与约定

  • \(N\) 是正整数
  • \(2 \leq N \leq 3000\)
  • \(s\) 是一个长度为 \(N-1\) 的字符串
  • 字符串 \(s\) 包含字符 < 和 >

注意输出结果要对 \({10}^{9}+7\) 取模。
显然，本题具有排列特征，故考虑插入 DP。
:::info[如何构造？]
设 \(dp[i][j]\) 表示第 \(i\) 个递增序列，上一个的可能长度为 \(j\) 的情况。
:::
:::info[如何转移？]
假设当前序列的长度为 \(x\)，那么有

\[dp[i+1][j+x]=dp[i+1][j+x]-dp[i][j]\\ dp[i+1][x]=dp[i+1][x]+\frac{dp[i][j]}{j!} \]

最终答案为 \(\sum_{j=0}^{n} \frac{dp[n][j]}{A_{n}^{j}}\times n!\)。
:::

注释&参考文献

[1] 计数类 DP，即计算满足特定限制的方案数的 DP。
[2] 问题所求的为满足某些限制的 \(n\) 的元素的排列数量。

posted @ 2026-09-09 07:51  LYZHaHa  阅读(32)  评论(0)    收藏  举报