Kőnig 定理 学习笔记

Kőnig 定理及其证明

内容

Kőnig 定理：在任何二分图中，最大匹配的大小等于最小点覆盖的大小 \(^{[1]}\)，即

\[\nu(G) = \tau(G) \]

  • 对于一般的图，仅有 \(\nu(G)\le \tau(G)\)。

证明

引理：对于任意图，若 \(M\) 是一个匹配，\(K\) 是一个点覆盖，满足

\[|M|=|K| \]

则 \(M\) 是最大匹配，\(K\) 是最小点覆盖。

证明：设 \(M^*\) 表示最大匹配，\(\tilde{K}\) 是最小点覆盖，那么

\[|M|\le|M^*|\le|\tilde{K}|\le|K| \]

由于 \(|M|=|K|\)，则 \(M=M^*\)，\(K=\tilde{K}\)。

定理证明：设图 \(G(X,Y,E)\) 为一个二分图，\(M^*\) 为 \(G\) 的最大匹配。令 \(U\) 表示 \(X\) 中所有未被匹配的点，\(Z\) 表示走 \(M^*\) 交错路径 \(^{[2]}\) 过程中经过的所有点的集合。
令 \(S=Z \cap X\)，\(T=Z \cap Y\)，那么 \(T\) 中的所有顶点都被 \(M^*\) 匹配，且 \(N(S)=T\)（见下图）。

定义 \(K=(X\setminus S)\cup T\)，由于 \(G\) 的每一个边都必须至少有一个端点位于 \(K\) 中，否则就会存在一条边，其一端在 \(S\) 中，另一端在 \(Y\setminus T\) 中，这与 \(N(S) = T\) 矛盾。
因为 \(K\) 的大小为 \(X\) 集合中被匹配的顶点并上 \(Y\) 集合中为被匹配的顶点，就为 \(|M^*|\)，所以有

\[|M^*|=|K| \]

由引理得 \(|M^*|=|\tilde{K}|\) 成立。

注释

[1] : 匹配是边集的一个子集 ，满足其中任意两条边没有公共顶点。最大匹配即包含边数最多的匹配，大小记作 \(\nu(G)\)。
点覆盖是顶点集的一个子集 \(H \subseteq V\)，使得每条边至少有一个端点在 \(H\) 中。最小点覆盖即顶点数最少的点覆盖，大小记作 \(\tau(G)\)。

[2] : 一条 \(M\) 交错路是指这样一条路径，其中的每一条边交替地属于或不属于匹配 \(M\)。

参考文献

posted @ 2026-09-09 07:49  LYZHaHa  阅读(22)  评论(0)    收藏  举报