Hall 定理 学习笔记

二分图 Hall 定理

模型概述

给定一张二分图 \(G=(U_1, U_2, E)\)，其中：

  • \(U_1\) 表示第一类顶点的点集，满足 \(|U_1|=n\)。
  • \(U_2\) 表示第二类顶点的点集，满足 \(|U_2|\ge n\)。
  • 边 \((u,v)\in E\) 表示顶点 \(u\) 到顶点 \(v\) 存在配对关系。

在这张二分图中，求是否存在如下完美匹配，满足 \(U_1\) 中的所有顶点都是匹配点 \(^{[1]}\)。

Hall 定理

对于上述问题，Hall 定理给出了存在完美匹配的充要条件。

1. 内容

Hall 条件

对于任意 \(U\) 的子集 \(S \subseteq U\)，记 \(N(S)\)表示 \(S\) 的邻域 \(^{[2]}\)，那么存在完美匹配的充要条件为：

\[\forall S \subseteq U，|N(S)|\ge|S| \]

Hall 定理

在二分图 \(G=(X, Y, E)\) 中，存在一个完美匹配的充要条件是Hall 条件成立。

2. 证明

2.1 必要性证明

必要性是显然的。如果存在匹配 \(M\) 覆盖 \(X\)，那么对于任意 \(S \subseteq X\)，\(S\) 中的每个顶点在 \(M\) 下都匹配到 \(N(S)\) 中一个不同的顶点。因此，\(N(S)\) 中至少要有 \(|S|\) 个不同的顶点，即 \(|N(S)| \geq |S|\)。

2.2 充分性证明：

考虑使用归纳法。

我们通过对 \(|X| = n\) 进行归纳，证明 Hall 条件足以保证匹配的存在。

归纳基础 (\(n=1\))

当 \(|X|=1\) 时，设 \(X = \{x\}\)。由 Hall 条件，\(|N(\{x\})| \geq 1\)，故存在 \(y \in Y\) 与 \(x\) 相邻。边 \((x, y)\) 即构成覆盖 \(X\) 的匹配。

归纳假设

假设对于所有满足 Hall 条件的二分图，只要其左部顶点数 \(|X| < n\)，则一定存在匹配覆盖 \(X\)。

归纳步骤

考虑一个满足 Hall 条件且 \(|X| = n\) 的二分图 \(G = (X, Y, E)\)。我们分两种情况讨论：

情况 1：存在非平凡子集 \(S\) 使 \(|N(S)| = |S|\)。

假设存在 \(S \subset X\)，\(S \neq \varnothing\)，\(S \neq X\)，且：

\[|N(S)| = |S| \]

  1. 考虑子图 \(G_1\)：由 \(S\) 和 \(N(S)\) 及它们之间的边构成：

    • 对任意 \(S' \subseteq S\)，\(N_{G_1}(S') = N_G(S')\)。
    • 由原图 Hall 条件，\(|N_{G_1}(S')| \geq |S'|\)，故 \(G_1\) 满足 Hall 条件。
    • 因 \(|S| = k < n\)，由归纳假设，存在匹配 \(M_1\) 覆盖 \(S\)。

  2. 考虑子图 \(G_2\)：由 \(T = X \setminus S\) 和 \(R = Y \setminus N(S)\) 及它们之间的边构成：

    • 需验证 \(G_2\) 满足 Hall 条件。
    • 任取 \(T' \subseteq T\)，设 \(N_{G_2}(T')\) 为 \(T'\) 在 \(G_2\) 中的邻域。
    • 在原图 \(G\) 中：\(N(S \cup T') = N(S) \cup N_{G_2}(T')\)，且这两个集合不相交。
    • 由原图 Hall 条件：\(|N(S \cup T')| \geq |S| + |T'|\)，得：\(|N(S)| + |N_{G_2}(T')| \geq |S| + |T'|\)。
    • 代入 \(|N(S)| = |S|\)，得 \(|N_{G_2}(T')| \geq |T'|\)，所以 \(G_2\) 满足 Hall 条件。
    • 因 \(|T| = n-k < n\)，由归纳假设，存在匹配 \(M_2\) 覆盖 \(T\)。

  3. 合并匹配：由于 \(G_1\) 与 \(G_2\) 顶点集不相交，\(M_1\) 与 \(M_2\) 的边也不相交：

    \[M = M_1 \cup M_2 \]

    即为 \(G\) 中覆盖 \(X = S \cup T\) 的匹配。

情况 2：对所有非平凡子集都有 \(|N(S)| > |S|\)

假设对任意 \(S \subset X\)，\(S \neq \varnothing\)，\(S \neq X\)，都有：

\[|N(S)| > |S| \]

证明思路：

  1. 任取 \(x_0 \in X\)。
  2. 由 Hall 条件，\(|N(\{x_0\})| \geq 1\)，且由当前情况假设，实际上 \(|N(\{x_0\})| \geq 2\)（严格大于）。
  3. 选择 \(x_0\) 的一个邻居 \(y_0 \in Y\)，暂定边 \((x_0, y_0)\) 在匹配中。
  4. 考虑子图 \(G'\)：删除 \(x_0\) 和 \(y_0\) 及其关联边：
    • 顶点集：\(X' = X \setminus \{x_0\}\)，\(Y' = Y \setminus \{y_0\}\)。
  5. 验证 \(G'\) 满足 Hall 条件
    • 任取 \(S' \subseteq X'\)，\(S' \neq \varnothing\)。
    • 在原图 \(G\) 中，由情况2假设：\(|N_G(S')| \geq |S'| + 1\)。
    • \(S'\) 在 \(G'\) 中的邻域 \(N_{G'}(S')\) 最多比 \(N_G(S')\) 少一个元素（即 \(y_0\)，如果 \(y_0 \in N_G(S')\)）。
    • 因此：\(|N_{G'}(S')| \geq |N_G(S')| - 1 \geq (|S'| + 1) - 1 = |S'|\)。
    • 故 \(G'\) 满足 Hall 条件。
  6. 因 \(|X'| = n-1 < n\)，由归纳假设，存在匹配 \(M'\) 覆盖 \(X'\)。
  7. 完成匹配：令 \(M = M' \cup \{(x_0, y_0)\}\)，则 \(M\) 覆盖 \(X\)。
归纳完成

在两种情况下，我们都由归纳假设成功构造出覆盖 \(X\) 的匹配。因此，由数学归纳法，对于所有满足 Hall 条件的有限二分图，都存在匹配覆盖其左部 \(X\)。充分性得证。

推论与应用

推论：正则二分图 \(^{[3]}\) 一定有完美匹配。
应用：

  1. 解决系统不同代表系（SDR）\(^{[4]}\) 问题：可以将问题转化为二分图上的问题，然后使用 Hall 定解决即可。
  2. 作为二分图匹配算法如匈牙利算法的正确性证明的一部分。

注释

[1] : 显然，这样的完美匹配是二分图中可能存在的最大匹配。

[2] : 邻域 \(N(S)\) 表示所有与 \(S\) 中的点直接相邻的顶点所构成的集合。

[3] : 正则二分图，及满足正则图的二分图。正则图是指各顶点的度均相同的无向简单图。

[4] : 系统不同代表系（SDR）问题：对于一个有限集族 $\mathcal{F}= {A_1,A_2,...A_n } $，能否从每个集合 \(A_i\) 中挑选出一个“代表”元素 \(x_i\)，并且所有代表都互不相同。

参考文献

posted @ 2026-09-09 07:48  LYZHaHa  阅读(20)  评论(0)    收藏  举报