2026/09/11 赛后总结

解题报告分析 7

总结遇到的问题与题目中一些神奇的思维点。

\(^{*}\)：不知道的 trick 或方法

Write Date：9/1/2026

T1 Rotate

首先需要计算出每个人和目标的循环差量，然后考虑到贪心的思考，希望一次操作能够尽可能多的影响点，于是不妨对差量求一遍差分得到一个单独的需要再新增的目标值。考虑到增量无非就是 \(0\sim 3\)，于是不妨开一个桶记录每种增量需要的数量。维护一个每个位置由前面推过来的增加量数组 \(\text{add[]}\)，然后再计算当前位置是否还需要，若还需要可以考虑和之前的某个也还需要对增量一起增加了，增加后更新向后推进的影响。

cjh 说差分很难想到，但是感觉这种需要连成整段、中间还涉及单独增加的，就能较自然的想到差分吧。

T2 Pi

神秘题目，描述跟依托一样，半天读不懂。赛后一看题解，什么群论经典套路，CR 还狡辩说“不需要群论，别看那个人瞎说，他绝对不懂群论”，好嘛，一看其他题解，剩余系，行 👍

不难发现小 R 被 \(i\) 号老师抓到的时间可以用一个同余式表示，另 \(t=\sum_{j=2}^{i}a_j \mod T\)：

\[t+kT\equiv a_i\pmod{S} \]

考虑如何统计答案，即对每个人记录他们的剩余系。

考虑将余数放到一张图上\(^{*}\)，将每一个余数 \(x\) 看作一个点，向 \((S+x)\mod T\) 连边，那么这张图具备如下特征（由剩余系理论得到）：

1. 由 \(\gcd (S,T)\) 个大小为 \(\frac{T}{\gcd (S,T)}\) 的环组成；
2. 每个环内的数都 \(p\) 都在 \(\mod \gcd(S,T)\) 意义下同余。

考虑答案在环上的情况，若有多个人在同一个环上：

1. 有多个人 \(t\) 相等，那么只有第一个有答案；
2. 每个人的答案为他沿着环走到下一个人的距离。

考虑如何求出这个距离，可以找一个环上的点 \(p,0\le p < \gcd (S,T)\)，以其为起点进行编号，可以得到距离即编号之差，而对于任意的某个环上的余数 \(x\)，其在环上的编号为

\[(x\mod \gcd(S,T))+kS\equiv x\pmod T \]

的最小自然数解，使用 Exgcd 求解。

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参考题解: CF819D 题解，CF 官解

后记：本题赛上题读错了，算成每个地方从单独自己那里开始，搞错了那个同余式。。。

关于剩余系可以参考的文章：【初等数论】 03 - 同余和剩余系

T3 Count

赛上 T1 做了半个多小时无果，遂直奔 T3，浅浅思考了十分钟左右，觉得是个什么二维偏序，理由是若设 \(p[i]\) 为 \(i\) 在排列中的位置，那么离散图像拟合后应该是至多两端单增的图像，像啊，很像，像二维偏序，斜率单调性可以用差分判断，于是最终可以把这个东西化为一个最小值数量判断的问题。然后就没什么想法了。当然，肯定是有个什么组合在里面的，或许和生成函数有关系。。。

• 经 DS 对以上思路分析，得到：两段递增是对的，但这不是二维偏序；应枚举分割点k，检查已知值递增，用组合数算各-1段方案并去重。

经过对题解进行一番观察以及对题目难度的观察（\(\text{NOI/NOI+/CTSC}\)），目前或许还是先放弃补这道题。

T4 Mystical

这道题由于没有给大样例，盲猜是什么神秘找规律题，于是手摸一下……然后就因为搞忘题目限制手摸错了。

通过手摸一些样例，不难发现：对于 \(i\ge 2\) 的行，第 \(i\) 行总是与第 \(i+2\) 行相同，即所有的 \(2k\) 行相同且 \(2k+1\) 行相同。那么原问题就得到了简化，只需要维护第 1,2,3 行即可，暴力复杂度 \(O(NK)\)。

考虑优化，第二行记录的是一个值的前缀出现次数，由此可以知道第三行应该是前缀出现次数的出现次数，所以我们需要动态维护两个分别统计以上内容的桶，可以考虑使用待修莫队。具体的，将修改时间和右端点 \(y\) 分别看做两个维度，就变成了一个二维平面上的问题，最终得到的三维是 (时间，时间，右端点)，可以通过时间维度的移动来应用/撤销修改操作，更改桶信息，然后就是比较常规的操作了……吗？还有无数的细节。