2026/08/27 赛后总结

解题报告分析 6

总结遇到的问题与题目中一些神奇的思维点。

\(^{*}\)：不知道的 trick 或方法

Write Date：8/27/2026

闲谈：这是本次暑假集训最后一次模拟赛的总结（纯正勾史OI味道 Round#3），也算是一个阶段性的总结吧。上一次写都是一个月之前了。。。中间确实有好多场都旷了，想着最后一场还是写一下吧。31 号开始就是高中生了

T1 Same

很神奇的题目，乍得一看好像是一个差分约束，但是神秘数据范围（\(1.2\times 10^7\)）和不稳定的 SPFA 给人一种不可做的感觉。虽然可以用并查集+类差分约束卡过去，但是正解可以做到严格线性 \(O(n+m)\)。

不难想到一种构造策略：对于一个目标区间，放置一个 \(K\)，其他位置全部放 \(0\)。不妨设 \(P_i=\sum_{j=1}^{i}a_j\)，令

\[d_i=\left \lfloor {\frac{P_i}{K}} \right \rfloor - \left \lfloor {\frac{P_{i-1}}{K}} \right \rfloor \]

则显然有 \(d_i\in \{0, 1 \}\)。那么区间限制就变为了 \(\sum_{i=L}^{R}d_i=K\)。

考虑引入 \(DP\) 来判断是否合法以及构造前驱：\(ok[i]\) 表示一个前缀最后一个选择的点是 \(i\) 是否合法，而这个合法性和区间的管辖范围有关，因此不妨再引入两个辅助数组：

\[pre[i]=\max(\{l_j , r_j \le i\})\\ suf[i]=\min(\{l_j, r_j \ge i\}) \]

那么上一个选择点的范围就被限定在：\([l_i,r_i]=[pre[i-1],\min(i-1,suf[i]-1)]\)，可以根据这个限制转移 \(ok\) 并转移最有可达位置。为了覆盖所有区间，显然最终必定要存在一个合法的位置 \(p \ge \max(l_i)\)。这样就可以做到线性解决该问题了。

T2 Acute

一个几何风味的组合问题。正多边形可以按照圆近似处理，对于一个角是否是锐角，不难想到可以用其对应的圆心角计算，那么就需要表示出弧长，因此可以设取出的点 \(A_i,A_j\) 之间的变数为 \(d_i\)。

于是可以得到，一个角是锐角当且仅当 \(d_{i-1}+d_i\ge \frac{n+1}{2}\)。进一步得，由于取出的点构成的是凸多边形，由其外角和为 $360^{\circ} $ 不难得出限制。

考虑当 \(m \ge 4\) 且 \(k=2\) 的情况，显然这两个锐角必然相连，否则不满足凸多边形的限制，不妨设：

\[d_i+d_j\ge \frac{n+1}{2}\\ d_j+d_k\ge \frac{n+1}{2} \]

令 \(t=\frac{n+1}{2}\)

1. 当 \(d_j\ge t-1\)，设 \(d_j=t-1+\delta\)，则剩下的段的和为

\[2t-1-(t-1+\delta)=t-\delta \]

那么其方案有

\[\sum_{\delta=0}^{t} \binom{t-\delta}{m}=\binom{t-1}{m-1} \]

2. 当 \(d_j<t-1\) 即 \(d_j\le t-2\) 是，推到同上，得到有 \(\binom{t}{m-1}\) 种

由于圆上点有标号，所以轮换不同，则有

\[n\Big(\binom{t-1}{m-1}+ \binom{t}{m-1}\Big) \]