2026/07/01 赛后总结

解题报告分析 1

分析每道题的核心逻辑链条，尝试总结出某些类型的题目通用思考方式。

\(^{*}\) ：不知道的 trick 或者方法

一种基本分析：

1. 构建基本数据：不考虑会产生额外复杂贡献计算的量 \(\rho\)，列出最朴素的表达式
2. 考虑引入一个量 \(\rho\)，分析其对基本数据产生的影响 \(\delta\)
3. 利用 \(\delta\) 寻找一些性质或优化状态定义等

Writ Date：7/1/2026

T1 Bucket

1. 观察题目中特殊的操作

​ “每次可以选择若干个水桶合并成一个新水桶。新水桶的容量等于这些水桶容量的最大值，漏水速度等于这些水桶漏水速度的最小值。” 合并操作。

${{\color{Red} 思考1：} } $

$\Longrightarrow $ 有什么特殊的性质 $\Longrightarrow $ 与什么东西相关 $\Longrightarrow $ 合并的数量 $\Longrightarrow $ 合并数量是否影响答案？

注意到新水桶 \((V,L)\) 是如何产生的：至多两个不同的桶，一个贡献 \(V\) 另一个贡献 \(L\)。$\Longrightarrow $ 如果合并数量大于2个，出来产生贡献的桶以外，其他的桶都不会对答案产生影响，反而不如不合并。

${{\color{Red} 结论1：} } $

选择若干对水桶 \((i,j)\) 进行两两合并是一个最优策略。

2. 形式化的给出要求的东西

​ 考虑使用数学方式推导题目答案的表达式。

​ 考虑对任意给定的一个时间 \(t\)，对答案的构成进行分类讨论：
\(\alpha\)：不进行合并，则答案为

\[\sum \max(v_i-t\times l_i,0) \]

\(\beta\)：考虑合并水桶 \(u,w\)，则这样一个操作的额外贡献为 $\Longrightarrow $ 这是一种常见的思考方向，提取单个操作计算贡献的变化。

\[W=\max(v_u-t\times l_w,0)-\max(v_u-t\times l_u,0)-\max(v_w-t\times l_w,0) \]

利用恒等式 \(^{*}\)：\(\max(x,0)=x-\min(x,0)\) 化简上式，得

\[W=\min(v_u,t\times l_u)-\max(v_w,t\times l_w) \]

那么合并 \(k\) 对这样的水桶，最大收益就是选最大的前 \(k\) 个 \(\min\)，最小的前 \(k\) 个 \(\max\)。

令 \(A_i=\min(v_i,t\times l_i)\)，\(B_i=\max(v_i,t\times l_i)\)，那么最终答案就为

\[\sum_{i=1}^n (B_i - t \cdot l_i) + \max_{k} \left( \sum_{i=1}^k A_{(i)} - \sum_{i=1}^k B_{(n-i+1)} \right) \]

又因为 \(A\cup B\) 其实就是 \(\{v_i,t\times l_i \}\) 的全集，那么问题就变为：

${ {\color{Red} 结论2：} } $

对于时间 \(t\)，最优剩余水量的总和，等于将所有 \(n\) 个 \(v_i\) 以及 \(n\) 个 \(t \cdot l_i\) 放在一起（共 \(2n\) 个数），取其中最大的 \(n\) 个数求和，最后再减去 \(t \cdot \sum l_i\)。

至此，此题就可以开始构建代码了。

核心逻辑：观察特殊操作 $\Longrightarrow $ 思考影响该操作的量 $\Longrightarrow $ 分析该操作的特性 $\Longrightarrow $ 利用特性形式化给出答案表达式 $\Longrightarrow $ 利用一些特征化简表达式 $\Longrightarrow $ 构建解题代码

T2 Dinner

1. 整理题意

两种选择，每种选择存在一个代价和一个贡献，同时对于选择二，满足条件后将产生额外代价。

$\Longrightarrow $ 对于代价+贡献模型，转化为背包DP。 （此处没有想到，缺少建模的意识）

2. 构建DP

先考虑构造 \(dp[i][j]\) 表示前 \(i\) 天，第 \(i\) 天出去吃，总代价为 \(j\) 的最大贡献。由于 \(j\le 10^{18}\)，但是贡献最多只有 \(3000\times 10=3\times 10^4\) 很小，因此考虑使用价值维DP进行优化。

此时，若直接定义 DP 状态，发现不知道怎么转移（因为存在隐藏的附加代价），不妨对附加代价进行分析：

1. 假设每天都选选择1，那么得到基础状态：

   \[\text{基础贡献}=\sum a_i\\ \text{基础代价}=\sum b_i \]

2. 考虑第 \(i\) 天变为选择二产生的变化：

   \[\text{贡献增加} w_i=c_i - a_i\\ \text{代价增加} cost_i = d_i-b_i \]

   同时还会附带上额外的代价：如果上一次出门吃饭是第 \(p\) 天（若未出门过视为 \(p=0\)），且 \(\sum_{j=p+1}^{i-1}x_j > K\)，则第 \(i\) 天额外产生惩罚花费 \(e_i\)。

不妨将额外获得的满意度作为状态。

定义 \(dp[i][j]\) 表示前 \(i\) 天中，第 \(i\) 天出去吃饭，且此时累计获得的额为满意度为 \(j\) 时的最小代价。

显然，\(dp[i][j]\) 有前面某个 \(dp[p][j],(0\le p <i)\) 转移过来。不妨在这个转移过程中将附加代价考虑进来。

由于 \(p \to 0\) 时，$\sum x_j \uparrow $，因此**存在一个分界点 \(\lambda\) **使得：

• 当 \(p\le \lambda\) 时，\(\sum x_j > K\)，都要考虑增加 \(e_i\)
• 当 \(p< \lambda <i\) 时，\(\sum x_j \le K\)，不考虑增加 \(e_i\)

$\Longrightarrow $ DP 转移分段，转移方程为

\[dp[i][j]=cost_i+\min \begin{cases} \min_{0\le p\le \lambda} dp[p][j-w_i]+e_i \\ \min_{\lambda < p< i} dp[p][j-w_i] \end{cases} \]

时间复杂度 \(O(n^2W)\)，考虑优化。

3. 优化DP

因为 \(x_i > 0\)，所以 \(\sum x_j \uparrow\)，那么随着 \(i \to n\)，\(\lambda\) 也是单增的。分别维护上面分类的两段：

1. 区间 \([0,\lambda]\) 的最小值：
   维护指针 \(it\)，同时随指针的更新同步更新满意度的前缀最小值，支持 \(O(1)\) 查询区间最小

2. 区间 \([\lambda +1,i-1]\) 的最小值

   由于这个区间的两个端点都是单增的，考虑使用单调队列优化，利用滑动窗口更新最小值。

这样就可以把 DP 优化到 \(O(nW)\) 了。

4. 求解答案

对于每个询问，考虑在 DP 中找出所有有意义的 \((cost,w)\) 集合，然后就是求预算相关的前缀最大值，由于单调，使用二分查找即可。

至此，这道题就可以开始构建代码了。

核心逻辑：抽象出题目结构（明确是”一个代价+一个贡献“的结构） $\Longrightarrow $ 进行对应算法的建模（背包DP） $\Longrightarrow $ 根据数据范围考虑适当优化 $\Longrightarrow $ 发现常规定义不好记录代价 $\Longrightarrow $ 回归基本分析 $\Longrightarrow $ 考虑新的状态定义 $\Longrightarrow $ 观察代价的性质（整段覆盖，存在分界点） $\Longrightarrow $ 观察整体性质（具有单调性） $\Longrightarrow $ 构造 DP 并进行转移 $\Longrightarrow $ 考虑优化

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今日其他收获

Trick:

1. 有关二分图建模

一个二维坐标 (x,y)，如果规则始终分别引用 x 和 y，而没有把整个坐标当作不可分割的整体，那么就要尝试把 (x,y) 拆成两个维度建图。

这类题有很多共同特征：

• 一个格子 = 行 + 列（本题）
• 一个矩形 = 两条横线 + 两条竖线
• 一个棋盘格 = 黑点 + 白点
• 一个单词 = 前缀 + 后缀
• 一个区间 = 左端点 + 右端点

只要发现对象实际上是由两类实体组合而成，并且题目的操作始终围绕这两类实体进行，那么就应该警惕是否能建立一个二分图。

思考方向：

1. 坐标 (r,c) 是否可以拆成两个独立维度？
2. 题目的所有操作，是不是都只在操作 r 和 c，而没有依赖格子本身的其他信息？
3. 如果把每个 (r,c) 看成 r 与 c 之间的一条边，操作会不会变得更简单？