再谈算法复杂度
算法复杂度分为时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度用于度量算法运行的时间长短；而空间复杂度则是用于度量算法所需存储空间的大小。
时间复杂度
1.时间频度
一个算法运行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行測试才干知道。但我们不可能也没有必要对每一个算法都上机測试，仅仅需知道哪个算法花费的时间多。哪个算法花费的时间少就能够了。
而且一个算法花费的时间与算法中语句的运行次数成正比例。哪个算法中语句运行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句运行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。
2.计算方法
1. 普通情况下，算法的基本操作反复运行的次数是模块n的某一个函数f（n）。因此，算法的时间复杂度记做：T（n）=O（f（n））
分析：随着模块n的增大，算法运行的时间的增长率和f（n）的增长率成正比。所以f（n）越小，算法的时间复杂度越低。算法的效率越高。
2. 在计算时间复杂度的时候，先找出算法的基本操作，然后依据对应的各语句确定它的运行次数，再找出T（n）的同数量级（它的同数量级有下面：1。Log2n 。n ，nLog2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n！
），找出后。f（n）=该数量级，若T(n)/f(n)求极限可得到一常数c，则时间复杂度T（n）=O（f（n））
例：算法：
for（i=1;i<=n;++i）
{
for(j=1;j<=n;++j)
{
c[ i ][ j ]=0; //该步骤属于基本操作运行次数：n的平方 次
for(k=1;k<=n;++k)
c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //该步骤属于基本操作 运行次数：n的三次方 次
}
}
则有 T（n）= n的平方+n的三次方，依据上面括号中的同数量级。我们能够确定 n的三次方 为T（n）的同数量级
则有f（n）= n的三次方，然后依据T（n）/f（n）求极限可得到常数c
则该算法的 时间复杂度：T（n）=O（n的三次方）
3.分类
按数量级递增排列。常见的时间复杂度有：
常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n),
线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n2)。立方阶O(n3),…，
k次方阶O(nk), 指数阶O(2n) 。
随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的运行效率越低。
空间复杂度
与时间复杂度类似，空间复杂度是指算法在计算机内运行时所需存储空间的度量。记作:
S(n)=O(f(n))
我们一般所讨论的是除正常占用内存开销外的辅助存储单元规模。
算法的时间复杂度（计算实例）
算法的时间复杂度
定义：假设一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所须要的时间为T(n)。它是n的某一函数 T(n)称为这一算法的“时间复杂性”。
当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂性”。
我们经常使用大O表示法表示时间复杂性，注意它是某一个算法的时间复杂性。
大O表示仅仅是说有上界。由定义假设f(n)=O(n)，那显然成立f(n)=O(n^2)。它给你一个上界，但并非上确界。但人们在表示的时候一般都习惯表示前者。
此外，一个问题本身也有它的复杂性。假设某个算法的复杂性到达了这个问题复杂性的下界。那就称这种算法是最佳算法。
“大O记法”：在这样的描写叙述中使用的基本參数是 n，即问题实例的规模，把复杂性或执行时间表达为n的函数。这里的“O”表示量级 (order)，比方说“二分检索是 O(logn)的”,也就是说它须要“通过logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法 O ( f(n) )表示当 n增大时，执行时间至多将以正比于 f(n)的速度增长。
这样的渐进预计对算法的理论分析和大致比較是很有价值的，但在实践中细节也可能造成差异。比如。一个低附加代价的O(n2)算法在n较小的情况下可能比一个高附加代价的 O(nlogn)算法执行得更快。
当然，随着n足够大以后，具有较慢上升函数的算法必定工作得更快。
O(1)
Temp=i;i=j;j=temp;
以上三条单个语句的频度均为1。该程序段的运行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶。记作T(n)=O(1)。
假设算法的运行时间不随着问题规模n的添加而增长。即使算法中有上千条语句。其运行时间也只是是一个较大的常数。
此类算法的时间复杂度是O(1)。
O(n^2)
2.1. 交换i和j的内容
sum=0。 （一次）
for(i=1;i<=n;i++) （n次）
for(j=1;j<=n;j++) （n^2次）
sum++； （n^2次）
解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)
2.2.
for (i=1;i<n;i++)
{
y=y+1; ①
for (j=0;j<=(2*n);j++)
x++; ②
}
解：语句1的频度是n-1
语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1
f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2
该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2).
O(n)
2.3.
a=0;
b=1; ①
for (i=1;i<=n;i++) ②
{
s=a+b; ③
b=a; ④
a=s; ⑤
}
解：语句1的频度：2,
语句2的频度： n,
语句3的频度： n-1,
语句4的频度：n-1,
语句5的频度：n-1,
T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).
O(log2n )
2.4.
i=1; ①
while (i<=n)
i=i*2; ②
解： 语句1的频度是1,
设语句2的频度是f(n), 则：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n
取最大值f(n)= log2n,
T(n)=O(log2n )
O(n^3)
2.5.
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<i;j++)
{
for(k=0;k<j;k++)
x=x+2;
}
}
解：当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 能够取 0,1,…,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+…+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+…+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n^3).
我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。如高速排序的最坏情况执行时间是 O(n^2)，但期望时间是 O(nlogn)。通过每次都细致地选择基准值，我们有可能把平方情况 (即O(n^2)情况)的概率减小到差点儿等于 0。
在实际中，精心实现的高速排序一般都能以 (O(nlogn)时间执行。
以下是一些经常使用的记法：
訪问数组中的元素是常数时间操作，或说O(1)操作。一个算法如 果能在每一个步骤去掉一半数据元素，如二分检索，通常它就取 O(logn)时间。用strcmp比較两个具有n个字符的串须要O(n)时间。常规的矩阵乘算法是O(n^3)。由于算出每一个元素都须要将n对 元素相乘并加到一起，全部元素的个数是n^2。
指数时间算法通常来源于须要求出全部可能结果。比如，n个元 素的集合共同拥有2n个子集,所以要求出全部子集的算法将是O(2n)的。指数算法一般说来是太复杂了，除非n的值很小。由于，在 这个问题中添加一个元素就导致执行时间加倍。不幸的是。确实有很多问题 (如著名的“巡回售货员问题” )，到眼下为止找到的算法都是指数的。假设我们真的遇到这样的情况。通常应该用寻找近似最佳结果的算法替代之。
算法复杂度的渐近表示法
一个算法的时间复杂度，指算法执行的时间。
如果数据输入规模是n，算法的复杂度能够表示为f(n)的函数
一 大O记号
如果f(n)和g(n)的定义域是非负整数，存在两个正整数c和n0，使得n>n0的时候，f(n)≤c*g(n),则f(n)=O(g(n))。可见O(g(n))能够表示算法执行时间的上界。O(g(n))表示的函数集合的函数是阶数不超过g(n)的函数。
比如：f(n)=2*n+2=O(n)
证明：当n>3的时候，2*n +2<3n，所以可选n0=3,c=3，则n>n0的时候。f(n)<c*(n)。所以f(n)=O(n)。
如今再证明f(n)=2*n+2=O(n^2)
证明：当n>2的时候，2*n+2<2*n^2，所以可选n0=2,c=2,则n>n0的时候，f(n)<c*(n^2)。所以f(n)=O(n^2)。
同理可证f(n)=O(n^a)，a>1
二 Ω记号
Ω记号与大O记号相反，他能够表示算法执行时间的下界。
Ω（g（n））表示的函数集合的函数是全部阶数超过g(n)的函数。
比如：f(n)=2*n^2+3*n+2=Ω(n^2)
证明：当n>4的时候，2*n^2+3*n+2>n^2，所以可选n0=4,c=1,则n>n0的时候，f(n)>c*(n^2)，所以f(n)=Ω(n^2)。
同理可证f(n)=Ω(n),f(n)=Ω(1)
三 Θ记号
Θ记号介于大O记号和Ω记号之间。他表示，存在正常数c1,c2,n0，当n>n0的时候，c1*g(n)≤f(n)≤c2*g(n)。则f(n)=Θ(g(n))。他表示全部阶数与g(n)同样的函数集合。
四 小o记号
f(n)=o(g(n))当且仅当f(n)=O(g(n))且f(n)≠Ω(g(n))。
也就是说小o记号能够表示时间复杂度的上界。可是一定不等于下界。
五 样例
如果f(n)=2n^2+3n+5，
则f(n)=O(n^2)或者f(n) = O(n^3)或者f(n)=O(n^4)或者……
f(n)=Ω(n^2)或者f(n)=Ω(n)或者f(n)=Ω(1)
f(n)=Θ(n^2)
f(n) = o(n^3)或者f(n)=o(n^4)或者f(n)=o(n^5)或者……
注：n^2表示n的平方。以此类推。
常见排序算法时空复杂度
