数学专题1
数学是好的——数学老师
在信息学中，数学依然重要！！！
为肾膜？
蒟蒻：我都知道
看看历年的曾题：
NOIP2017 D1T1 小凯的疑惑
不定方程大佬（nao）一算，
a*b-a-b
得解！！！
AK*1，MARK+=100；
NOIP2016 D2T1 组合数问题
组合数学的递推+前缀和=>AK*2，MARK+=100；
虽然我听大佬说这题这么解。
NOIP2014 D2T3最后一道
质数筛法+简（du）单（liu）高精=>AK*3,MARK+=100;
还有很多：
计算系数，同余方程，转圈游戏······
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几乎每一届NOIP都有数学。
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数学老师说：数学是好的。
先把他请出去，这是信息教室。
而且，数学是比较好理解的算法之一，他包含了：质数，质数筛法，最大公约数（gcd），最小公倍数（lcm），欧拉函数，欧几里得算法，中国剩余定理，组合数学······
其实，你有一定的数学基础时，大概一天就能把这些算法摸一遍。
今天，我们先来讲质数，质数筛法，互质以及欧拉函数。
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质数
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只有1和它本身为因数的数叫质数。
特别地，1不是质数。
合数：除1和质数以外的正整数叫合数。
常识：100以内有25个质数。
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质数判定
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在放代码之前，我们先举几个栗子。
15。
我们手判质数会这样：（假设我们不知道它是不是）
15/2=7······1,
15/3=5
SO
15不是质数。
77.
手判质数：
77/2=38······1
77/3=25······2
······
77/7=11
SO
77也不是质数。
13.
13/2=6······1
13/3=4······1
13/4=3······1
ceil（sqrt（13））（根号13取上整）=4，
若13/2，3，4除不尽，13就是质数。
为什么呢？
蒟蒻：13本来就是质数。
好。来证明一下：
若x是合数，设它的一个因数为a，则x/a必是它的因数。
所以，只要算sqrt（x）就可以了。
code：
1 bool prime(int x) 2 { 3 if(x<=1) return 0; 4 if(x==2) return 1; 5 for(int i=2;i<=sqrt(x);i++) 6 { 7 if(x%i==0) 8 return 0; 9 } 10 return 1; 11 }
质数也有筛法，普通暴力筛我就不讲了，就是一个一个判。
我们要讲到的事线性筛，又叫欧拉筛法。
从 2 开始枚举当前数 i，去掉 i×p 这个合数，其中 p 是质数，且 p<i。 每个合数只会被其最小的质因子筛去，所以总的复杂度是线性的。
这就是它叫线性筛的原因。
我们先来看代码：
code：
1 memset(check,0,sizeof(check));//标记 2 int tot = 0;//质数个数 3 for(int i=2;i<=n;i++) 4 { 5 if(!check[i])//i没有别删去，则他是质数 6 { 7 prime[++tot]=i; 8 } 9 for(int j=1;j<=tot;j++)//去除i的倍数 10 { 11 if(i*prime[j]>n)//超过n，退出 12 { 13 break; 14 } 15 check[i*prime[j]]=1;//划去合数 16 if(i%prime[j]==0) 17 { 18 break;//合数被最小因子划去 19 } 20 } 21 }
理解 i % prime[j] == 0 是关键
原理：
1、任何一个合数都可以表示成一个质数和一个数的成绩
2、假设A是一个合数，且A=x*y，这里x也是一个合数，那么有：
A=x*y（假设x是合数，y是质数）
x=a*b（假设a是质数，则a<x --> a<y)
A=a*b*y=a*Z (Z=b*y)
3、即一个合数x与一个质数y的乘积能表示成一个更大的合数Z和一个更小的质数a乘积表示
所以对于当前i，若i % prime[j] == 0 --> i = prime[j] * x;
所以对于之后的任意数 i * prime[j+1] = prime[j] * prime[j+1] * x = prime[i] * y
即对于之后的数，我们都能用prime[j] * 一个更大的数来筛去，所以这里不用重复筛了
由于每个数只可能被最小的素数筛掉，所以复杂度为O（n）。
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欧拉函数
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欧拉函数就是表示小于n的数中与n互质的数的个数
code：
1 int euler(int n){ 2 int ans = n; 3 for(int i = 2; i * i <= n; i ++){ 4 if(n % i == 0){ 5 n /= i; 6 ans = ans / i * (i-1); 7 while(n % i == 0){ 8 n /= i; 9 } 10 } 11 } 12 if(n > 1) ans = ans / n * (n - 1); 13 return ans; 14 }
计算方法
φ（n） = n*(1-1/p1)*(1-1/p2)...
其中pi表示的是n的各个质因子
直接枚举质因数计算
其实没啥技术含量。
自己看一看就好利。毕竟蒟蒻都看懂了嘛
今天的内容就到这，希望大家在做信息数学题时rp+++；
