网络流进阶

上下界流

• 无源汇有上下界可行流

  • 问题：无起点终点，每条边有流量上下界，需满足流量守恒和边流量约束。
  • 解法：
    1. 计算边的残余容量（上界-下界），转为[0, 残余容量]范围。
    2. 统计顶点流量盈亏（流入下界和 - 流出下界和）。
    3. 建虚拟源点S'、汇点T'，S'向盈余顶点补流， deficit顶点向T'流。
    4. 若S'到T'的最大流等于总盈余，则存在可行流（原边流量=下界+辅助网流量）。

• 有源汇有上下界最大流

  • 问题：有源点s、汇点t，求满足上下界的最大流量。
  • 解法：
    1. 先按无源汇方法判断可行流是否存在（可加t→s的无穷边转化）。
    2. 若可行，在残余网络上跑s到t的普通最大流，总流量=初始可行流+新增流量。

• 有源汇有上下界最小流

  • 问题：有s、t，求满足上下界的最小流量。
  • 解法：
    1. 先确认可行流存在。
    2. 在残余网络中反向求流，从t到s跑最大流，初始可行流减去该流量即为最小流。

题目，解法

CF1307G

• 问题：有向图+q次查询，每次可增加边权总和至多x，求最短路的最大可能值（n≤50，m≤n²，q≤1e5）。
• 思路：猜测与费用流相关，考虑限制每条边流量为1，在流量限制下找费用流，以确定前k短不交路径的长度总和来回答查询，存在对偶做法。

CF1288F

• 核心：处理两种点（红色、蓝色）及无色点的流量关系。
• 无费用、无色点边时：红色点需入流>0，蓝色点需出流>0；建边（红色→T、S→蓝色、T→S，容量均为(0,inf)）跑无源汇可行流；无色点需同时加入红蓝相关边。
• 有染色费用时：将最大流改为费用流求解。

P2765

• 问题：划分成若干条链。
• 解法：利用“最小链覆盖=顶点数-最大匹配”结论（与此前内容呼应）。

P2763

• 问题：n个题分配给k类知识点，每类需x[i]题，每题仅放一个位置（n≤1000，k≤20）。
• 解法：可采用二分图带权匹配（KM算法）或最大流；因匈牙利算法常数小，O(nm)复杂度可通过。

CF491C

• 问题：涉及二分图最大权匹配（n≤2e6，k≤52）。
• 解法：可用最小费用流或KM算法。

POJ1966

• 问题：无向图中最少删除多少个点使图不连通（n≤50）。
• 解法：拆点技巧——将点x拆为in(x)和out(x)，in→out连边，out(x)→in(y)连inf边（不可拆）；枚举out(S)和in(T)求最小割。

混合图欧拉回路

• 问题：求含向边和无向边的欧拉回路（n,m≤200）。
• 思路：保证每个点出度等于总度数的一半，转化为边分配问题。

P2891 [USACO07OPEN] Dining G

• 问题：有N头奶牛、F种食物和D种饮料，每头奶牛只接受自己喜欢的食物和饮料，且每种食物或饮料只能分配给一头奶牛，求最多能同时获得符合偏好的食物和饮料的奶牛数量（N,F,D≤50）。
• 解法：属于双重约束下的匹配问题，需同时满足“奶牛-食物”和“奶牛-饮料”的偏好匹配，可通过构建网络流模型求解最大匹配数。

UVA11082

• 问题：还原矩阵，满足每行、每列和，元素在1-20之间（n,m≤20）。
• 解法：将[1,20]转为[0,19]避免上下界网络流，通过最大流处理行和列的限制。

CF1383F

• 问题：k条特殊边，q次查询其边权时s到t的最大流（n,m≤10000，q≤2e5，k≤10，w≤25）。
• 优化解法：
  • 基础思路：枚举特殊边子集（删除与否），跑最大流，复杂度2^k×maxflow(n,m)。
  • 优化：利用残余网络，加边后undo，复杂度降为max_flow(n,m) + 2^k×w×m。