网络流

二分图匹配

二分图是指能将顶点分为两个不相交集合U和V，且所有边仅连接U中顶点与V中顶点的图。匹配问题是二分图中的核心问题，以下是几种经典解法：

匈牙利算法

匈牙利算法是求解二分图最大匹配的经典算法，核心思路是通过不断寻找增广路扩展匹配规模。

• 核心概念：
  • 匹配数组match[v]：记录V中顶点v匹配的U中顶点（未匹配则为-1）。
  • 增广路：从U中未匹配顶点出发，交替经过未匹配边和匹配边，最终到达V中未匹配顶点的路径。找到增广路后，交换路径上的匹配状态即可增加一个匹配。
• 步骤：
  1.遍历U中所有未匹配顶点u。
  2.对每个u，通过DFS搜索增广路：枚举u的邻接顶点v，若v未访问过，标记访问状态；若v未匹配或v的匹配顶点能找到新的增广路，则更新match[v] = u，完成一次匹配扩展。
  3.重复上述过程，直至无法找到增广路。
• 复杂度：O(nm)，其中n为U中顶点数，m为边数。
• 正确性：若当前匹配不是最大匹配，则存在增广路可进一步扩展，反之则为最大匹配。

Hall定理

Hall定理是判断二分图是否存在X-完美匹配（X中所有顶点都被匹配）的充要条件，是二分图匹配理论的重要基础。

• 定理内容：对于二分图G=(X,Y,E)，若|X|≤|Y|，则存在X-完美匹配的充要条件是：对于X的任意子集W，其邻接顶点集N_G(W)（所有与W中顶点相连的Y中顶点）满足|W|≤|N_G(W)|。
• 应用：例如，所有正则二分图（每个顶点度数相同）一定存在完美匹配，可通过Hall定理证明。

KM算法

KM算法用于求解二分图带权最大匹配（或最小匹配，只需将权值取反），适用于两集合顶点数相等的场景（不等时可补零权边凑齐）。

• 核心思想：
  • 维护顶标数组lx[]（X中顶点的顶标）和ly[]（Y中顶点的顶标），满足对任意边(u,v)，lx[u] + ly[v] ≥ w(u,v)（w为边权）。
  • 在相等子图（仅包含满足lx[u] + ly[v] = w(u,v)的边）中寻找完美匹配，若找到则为带权最大匹配。
• 顶标调整：若相等子图中无完美匹配，需调整顶标以扩大相等子图范围。设S为X中访问过的顶点，T为Y中访问过的顶点，调整量a = min{lx[u] + ly[v] - w(u,v) | u∈S, v∉T}，对S中顶点顶标减a，T中顶点顶标加a，保证顶标约束仍成立。
• 复杂度：O(n³)，需n次增广，每次增广涉及O(n²)的顶标调整和路径搜索。

网络流算法

网络流是研究带容量约束的流量分配问题的模型，核心是求解最大流（从源点到汇点的最大可行流量），以下是几种经典算法：

核心原理

• 反向边机制：为每条边(u,v)建立反向边(v,u)，当正向边流过k单位流量时，反向边的残余容量增加k，实现“可反悔”的贪心策略，允许调整已分配的流量。
• 最大流-最小割定理：最大流的流量等于最小割的容量（最小割是将源点和汇点分离的边集，其容量为各边容量之和），是网络流算法正确性的理论基础。

常见算法

1. FF算法与EK算法：

   • 两者均基于增广路思想，通过不断寻找从源点到汇点的残余路径（可分配流量的路径）并分配流量，直至无增广路。
   • 区别：FF算法用DFS搜索增广路，复杂度O(Fm)（F为最大流流量）；EK算法用BFS搜索最短增广路，复杂度O(nm²)（n为顶点数，m为边数），效率更稳定。

2. Dinic算法：

   • 目前最常用的最大流算法，通过分层和阻塞流优化增广过程：
     • BFS分层：按到源点的距离将顶点分层，仅允许从低层向高层搜索，避免无效路径。
     • DFS阻塞流：在分层图中一次性搜索多条增广路，形成阻塞流（无法再通过该分层图增广的流量）。
     • 当前弧优化：对每个顶点，记录上次搜索到的边，跳过已用尽流量或无效的边，避免重复检查。
   • 复杂度：O(n²m)，在边权为1的场景下优化为O(m√m)，高效性使其成为多数网络流问题的首选。

费用流

费用流是网络流的扩展，每条边除容量外还包含单位流量费用，目标是求解最小费用最大流（或指定流量的最小费用）。

核心思路

• 每次沿最短路径（按费用计算）增广流量，确保总费用最小。若存在负费用边，可通过势能函数h[] 转换边权，消除负权后用Dijkstra算法求解最短路径。
• 势能更新：增广后，将势能函数h[i]更新为“当前最短距离 + 原h[i]”，保证转换后的边权非负，维持算法效率。
• 复杂度：若用SPFA处理负边，复杂度为O(Fnm)；用Dijkstra+势能优化，复杂度为O(F(m + n log n))，其中F为最大流流量。