字符串

一、最小表示法：找循环字符串的"最小值"

什么是最小表示法？简单说，对于一个字符串S，它的循环移位（比如将"abcd"左移一位变成"bcda"）有很多种，最小表示法就是其中字典序最小的那个。

比如字符串"abba"，它的循环移位有"abba"、"bbaa"、"baab"、"aabb"，其中字典序最小的是"aabb"，这就是它的最小表示。

算法核心思路

最小表示法的高效求解依赖于两个指针和一个匹配长度变量，具体步骤如下：

1. 初始化：设两个指针i=0，j=1（表示两个候选起始位置），匹配长度k=0，字符串长度为N。
2. 比较字符：比较S[(i+k)%N]和S[(j+k)%N]（取模是为了处理循环移位）：
   • 若两字符相等：k++，继续比较下一位；
   • 若S[(i+k)%N] > S[(j+k)%N]：说明从i开始的字符串更"大"，可以直接淘汰i到i+k的所有位置，令i=i+k+1，k重置为0；
   • 若S[(i+k)%N] < S[(j+k)%N]：同理，淘汰j到j+k的位置，令j=j+k+1，k重置为0。
3. 终止条件：当i或j超过N时，较小的那个指针就是最小表示的起始位置。

为什么高效？

这个算法的关键是指针永不后退，每次"淘汰"操作至少让指针前进1位。因此i和j的总移动距离不超过2N，每个字符最多被比较常数次，整体时间复杂度是O(N)，线性高效。

二、Z函数：快速找前缀匹配长度

Z函数（Z-function）是字符串前缀匹配的利器，定义如下：对于字符串s，Z[i]表示s与s[i:]（从i开始的后缀）的最长公共前缀长度，且规定Z[0]=0。

举个例子，对于s= "aaaabaaaab"，它的Z数组是[0,3,2,1,0,5,3,2,1,0]：

• Z[1]=3：s[0..2]（"aaa"）与s[1..3]（"aaa"）匹配；
• Z[5]=5：s[0..4]（"aaaab"）与s[5..9]（"aaaab"）完全匹配。

算法核心思路

计算Z数组的关键是维护一个"当前最右匹配段"[l, r]（即s[l..r]是s的前缀），利用已计算的Z值减少重复比较：

1. 初始化：l=0，r=0（初始无匹配段），从i=1开始计算Z[i]。
2. 分情况处理：
   • 若i ≤ r：根据[l, r]的性质，s[i..r] = s[i-l..r-l]，因此Z[i]至少为min(Z[i-l], r-i+1)。若Z[i-l] < r-i+1，则Z[i] = Z[i-l]；否则需要从r+1开始暴力扩展。
   • 若i > r：直接从s[i]开始暴力比较，计算Z[i]。
3. 更新匹配段：计算完Z[i]后，若i+Z[i]-1 > r，则更新l=i，r=i+Z[i]-1。

应用场景

Z函数可用于解决前缀匹配相关问题，比如：

• 判断一个字符串是否是另一个的循环移位（结合最小表示法）；
• 查找字符串中所有与某个前缀匹配的位置。

三、AC自动机

AC自动机（Aho-Corasick Automaton）是专门用于多模式匹配的算法，简单说就是给定一堆模式串（比如关键词），快速在一个文本串中找到所有出现的模式串。

比如在文章中高亮所有敏感词，就可以用AC自动机高效实现，比逐个用KMP匹配快得多。

核心特点

• 基于字典树（Trie）构建，同时增加了"失败指针"（类似KMP的next数组），用于在匹配失败时快速跳转，避免重复比较。
• 构建过程分三步：建字典树→求失败指针→模式匹配，整体时间复杂度与模式串总长度和文本串长度线性相关。

四、回文树：处理回文串的专属工具

回文树（Palindromic Tree，又称回文自动机）是专门用于统计和处理字符串中回文子串的结构，能高效找到所有不同的回文子串，以及它们的出现次数等信息。

核心特点

• 维护两种节点：分别对应长度为偶数和奇数的回文子串；
• 每个节点记录回文串的长度、后缀链接（类似失败指针）等信息；
• 构建过程中，每次添加一个字符，通过后缀链接快速找到以该字符结尾的最长回文子串，时间复杂度线性。