NumberTheory

莫比乌斯反演

莫比乌斯函数 μ(n) 的定义如下：

1. 当 n = 1 时，μ(1) = 1。

2. 当 n 含有平方因子，μ(n) = 0。

3. μ(n) = -1^k, k 为 n 的本质不同质因子个数

莫比乌斯函数性质

\[\sum_{d|n}^{}μ(n) = \begin{cases} 1 & n=1\\ 0 & n \ne1 \end{cases}\]

线性筛

μ函数为积性函数，可以线性筛莫比乌斯函数（线性筛基本可以求所有的积性函数)

void getMu() {
  mu[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    if (!flg[i]) p[++tot] = i, mu[i] = -1;
    for (int j = 1; j <= tot && i * p[j] <= n; ++j) {
      flg[i * p[j]] = 1;
      if (i % p[j] == 0) {
        mu[i * p[j]] = 0;
        break;
      }
      mu[i * p[j]] = -mu[i];
    }
  }
}

杜教筛

假设我们要求一个积性函数的前缀和

\[S(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i) \]

，我们可以构造另外两个积性函数函数
h=f∗g，使得h的前缀和便于计算。