2016-5-17模拟测试

• T1

  • description
    有\(n\)个二元组\((a_i,b_i)(1\leqslant i \leqslant n)\)定义\(c_1 = a_1 + b_1,c_i = \max(c_{i-1}, \sum_{j=1}^{i}a_j)+b_i\),求一个排列使\(c_n\)最小.
  • solution
    考场上直接考虑交换两个会不会使最终答案变优，这样就很复杂，直接考虑交换相邻的两个会不会使这个\(c_i\)变小即可，影响的位置只有1个。

• T2
  裸曼哈顿距离最小生成树。

• T3

  • description
    一个序列\({a_n}\),请找到一个序列\({b_n}\)使得\(\forall i\)有\(a_i \leqslant b_i\)，且\(f = \sum_{i=1}^{n}{(a_i-b_i)^2} + \sum_{i=2}^{n}{|b_i-b_{i-1}|}\)最小，输出这个最小值。
  • solution
    考虑\(n=3\)的情况，我们发现只有在\(a_2<\min{a_1,a_3}\)的情况使\(a_2\)才会使答案更优，而且目标函数是二次函数，可以\(O(1)\)求出。
    我们又发现，如果相邻的两个数被改了，那么他们一定被改成了同样的数。
    根据上面两条性质，不妨用\(f_i\)表示在不修改\(i\)的情况下的最小值，那么对于\(j\leqslant i, \max{a_{j+1},a_{j+2},...,a_{i-1}} <= \min(a_i,a_j)\)的\(j\)可以更新\(i\)
    而这样的更新次数显然只有\(O(n)\)次，可以用一次单调栈求出。
  • notice
    1.由于\(f_i\)的定义，在具体实现时，我们添加\(a_0, a_{n+1}\)方便处理，他们的值应设为一个极大值。
    2.注意极大值参与运算时溢出的问题。