Algebra 第二章笔记 群

群 一个非空集合 \(G\) 以及定义在 \(G\) 上的一个二元运算 \(\cdot\) (通常用乘表示), 若满足:

1. 封闭性: \(\forall a, b \in G\), \(ab \in G\).
2. 结合律: \(\forall a, b, c \in G\), \((ab)c = a(bc)\).
3. 单位元: 存在一个\(e \in G\), 使得\(\forall a \in G\), \(ae = ea = a\).
4. 逆元: \(\forall a \in G\), 存在一个逆元 \(b \in G\), \(ab = ba = e\). \(a\) 的逆元表示为 \(a^{-1}\).

则称 \((G, \cdot)\) 为一个群. 群中元素个数称为该群的阶 \(|G|\).

若二元运算还满足交换律, 则称为阿贝尔群. 此时二元运算常用 \(+\) 表示.

一个基本的群是所有 \(n\) 阶可逆方阵集合以及矩阵乘法, 称为 \(n\) 维一般线性群, 记为 \(GL_n\). 另一个基本的群是集合 \(T\) 上的所有双射 (置换) 构成的集合以及两个映射的嵌套 \(\circ\). 当 \(T = \{1,2,\dots, n\}\) 时, 该群称为对称群, 记为 \(S_n\).

子群 一个群的子集 \(H\) 如果还保留了: 运算封闭性、包含单位元、逆元封闭性, 则称 \((H, \cdot)\) 构成一个子群. 任意群都有两个平凡的子群: 该群自身以及 \(\{e\}\), 除此以外非平凡的子群称作一个真子群.

整数加法群 \((\mathbb{Z}, +)\) 的任意子群均有 \(b \mathbb{Z} = \{bk | k \in \mathbb{Z}\}\) 的形式, 其中 \(b\) 为该子群的最小正整数, 为生成元. 由两个非零整数 \(a,b\) 生成的子群 \(a \mathbb{Z} + b \mathbb{Z}\) 也可以由一个整数 \(d\) 生成, \(d\) 为 \(a\) 和 \(b\) 的最大公约数.

由群中的一个元素 \(x\) 自身可以生成循环子群 \(H = \{x^n | n \in \mathbb{Z}\}\). 若 \(x\) 的幂次无重复, \(H\) 为无限循环子群. 否则 \(x\) 的幂次有最小正周期 \(m\), 使得 \(x ^ m = 1\). 此时 \(H\) 为 \(m\) 阶循环子群 \(\{1, x, \dots, x^{m-1}\}\), 也称生成元 \(x\) 的阶为 \(m\).

子群也可以由一个元素集合 \(U\) 生成, 其包含 \(U\) 中元素的各种乘积形式.

同构 两个群 \(G\) 和 \(G'\) 是同构的, 如果有一个同构双射 \(\varphi: G \rightarrow G'\) 与两群的二元运算相容, 即 \(\forall a, b \in G\), \(\varphi (ab) = \varphi (a) \varphi (b)\). 记作 \(G \approx G'\). 同构群中的单位元相对应.

例如一个无限循环群 \(G = \{a^n | n \in \mathbb{Z}\}\) 和 整数加群同构. 两个同阶的有限循环群同构.

所有同构的群可以形成一个同构等价类, 并可以此划分不同的同构等价类.

群 \(G\) 可以自同构到自己, 但同构映射 \(\varphi\) 不一定非要为恒等映射. 例如接合 (conjugation) 自同构 \(\varphi (a) = bab^{-1}\), \(b\) 为 \(G\) 中一个选定的元素.