行列式

行列式

我们定义矩阵 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵，则 \(A\) 的行列式值

\[det(A)=\sum_{P}^{}(-1)^{\lambda (P)}a_{ip_i} \]

其中 ，\(P\) 为一个 \(1-n\) 的排列， \(\lambda(P)\) 表示排列 \(P\) 的逆序对数

直观来讲就是每行每列选取一个数相乘在加一个 \((-1)^{\lambda (P)}\) 的系数

排列性质：

交换其中两个数，排列逆序数奇偶性改变。

几何意义：

\(n\) 阶行列式的绝对值就是 \(n\) 个列向量构成的 \(n\) 维平行多面体的广义体积

一个没什么用的的定理：

\(n\) 维空间中的 \(n+1\) 个向量构成的广义凸包体积，等于在其中 \(n+1\) 个向量中任选 \(n\) 个向量构成的凸包的体积之和除以 \(2\)

luogu P7249

性质：

1. \(|A^T|=|A|\)

   证明：

   对于任意一个排列\(P\) 我们将其写成

   $\begin{pmatrix}
   1\ 2 \ 3\ ... n
   \
   p_1\ p_2\ p_3...p_n \end{pmatrix} $

   的形式，其第一行对应标准行标号，而我们此时将上下两行绑定，将第二行通过对换变为\(1,2,3,..n\) 的排列，那第一行对应的就是一个 \(|A^T |\) 中的排列 \(P^T\) ,我们发现此时第一行的逆序数与的初始第二行的逆序数奇偶性相同，所以对于每一项 \((-1)^{\lambda (P)}a_{ip_i}\) 在 \(| A^T |\) 中都有一项\((-1)^{\lambda (P^T)}a^T_{ip_i}\) 与之相等，进而我们可以得知行列式的行与列是等价的