流体力学？

今天听了一节通识课，感觉流体力学挺有意思的，于是就想写下来记录一下（）

1. 流体？

1.1 流体

比如说水啊，空气啊，这种都是流体。一般来说，那种没有固定形状能流动的东西都算流体。
那对于流体上面的力学，咱们主要研究什么呢？
基本的思想就是研究流体里面的一小块流体，这个块小到能够看作是微元，但是又没有到分子层面那么小。
对于这样的一个块，它有什么性质呢？首先因为是微元，谈论体积和质量已经没太大意义了，不过它们做商倒是有意义，是这一点的密度 \(\rho (\mathbf x,t)\) ，其中 x 和 t 是空间和时间参数。另外当然还有这一点的速度，记作 \(\mathbf u(\mathbf x,t)\) 。
不过流体有一个独特的量叫做压强 \(p(\mathbf x,t)\) ，这是一个标量，说明了在这一点上的压强实际上是向着四面八方的，流体的压强并没有特定的方向，这点和固体有着天壤之别。
以上是流体的一些基本物理量，当然还有温度啊含氧量啊乱七八糟的，当然这些都是定义在时空空间里面的函数。

1.2 物质导数

不过你有没有注意到一点，研究流体的时候，空间参量 \(\mathbf x\) 成为了一个参数，而不是性质量——回想一下传统的力学，这个量应该是我们通过各种方式求的东西，而这里却变成了参量。
实际上是这么回事，传统力学研究物体时用的是Lagrange描述，也就是我们锁定了这一块物体这一些物质本身，然后我们去追踪它研究；而流体力学则不同，我们对着这一片空间研究，不管流过的流体有没有变，还是不是之前的分子，这叫Euler描述。
所以我们要引入一个物质导数的概念，说人话就是在Euler描述和Lagrange描述之间转换。
举个例子，现在每个点有个温度 \(T(\mathbf x,t)\) ，这一点的温度随时间的变化当然就是 \(\frac{\partial T}{\partial t}\) 了，这个东西叫做当地导数。
但是如果我们追踪这一段流体呢，那显然还要考虑速度方向，不仅要有时间变化引起的温度变化，还要考虑到空间项，反映到这里就是 \((\nabla\cdot\mathbf u)T\) ，这个叫做对流导数。
所以合起来，就有了物质导数 \(\frac{DT}{dt}=\frac{\partial T}{\partial t}+(\nabla\cdot\mathbf u)T\)。
说这么多其实就是把 \(\mathbf u\) 当作函数的参数做了个全微分。。
为什么一定要引入这个东西呢？因为我们说了，传统力学是在 Lagrange 描述下的，换句话说牛顿第二定律必须选定那一块质点，而不能是那一块空间，所以传统力学下面说加速度是 \(a=\frac{\mathrm d v}{\mathrm d t}\) 在这里也不能是 \(\frac{\partial v}{\partial t}\) 了，而是 \(\frac{Dv}{dt}\) 。

1.3 质量守恒

考虑一小片体积 \(V\)，显然这块体积里面物质的质量的随时间的变化率就是单位时间边界流出的质量，也就是：

\[\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\int_V \rho\ \mathrm d V=-\int_{\partial V}\rho\mathbf u\cdot\mathbf n\ \mathrm d S=-\int_V\nabla\cdot(\rho\mathbf u)\mathrm d V \]

所以

\[\int_V\left[\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf u)\right]\mathrm d V=0 \]

所以

\[\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf u)=0 \]

这就是流体的连续性方程。
如果流体是不可压缩的，那 \(\rho\) 就是常数，那等于说 \(\nabla\cdot(\rho\mathbf u)=0\)。还挺直观的。

1.4 F=ma

我们知道

\[\mathbf F=m\mathbf a \]

根据刚刚说的，对于一个微元，加速度需要用物质导数表示，也就是

\[\rho\frac{D\mathbf u}{D t}=\mathbf F \]

现在问题来了，那合力怎么求？
流体里面的力主要有两类，一类是单位质量的体力 \(\mathbf f\)，体力就是隔空作用在这一块质量的物体上面的力，比如说重力啊，惯性力啊，如果这个液体能导电可能还有电磁力之类的。所以这块体积的体力就是 \(\rho\mathbf f\)。
第二类就是表面力，也就是流体通过表面传导过来的力，我们用一个张量 \(\sigma\) 来表示它的应力，具体来说，可以写作

\[\boldsymbol{\sigma} = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{pmatrix} \]

比如说 \(\sigma_{xy}\) 就表示面 \(x\) 上面沿着 \(y\) 法方向的合力。
那这一小块区域的受力当然就是 \(\nabla \cdot \sigma\) 了。
展开，就能得到一般流体的柯西动量方程：

\[\rho\frac{D\mathbf u}{D t}=\mathbf F=\nabla\cdot\mathbf\sigma+\rho\mathbf f \]

应力的一部分是由各向同性的压强 \(p\) 产生的，所以这一部分写作

\[-p\mathbf I \]

其中 \(\mathbf I\) 是单位矩阵，为什么是负号，因为压强是向内的，而法方向一般取向外。
另一部分则是剪切摩擦，发生在物体运动的时候，层流之间出于黏性互相摩擦产生的黏性应力 \(\tau\)。
展开这个式子，得到了牛顿第二定律方程：

\[\rho\frac{D\mathbf u}{D t}=\mathbf F=-\nabla p+\nabla\cdot\mathbf\tau+\rho\mathbf f \]

2. Navier-Stokes 方程？

2.1 牛顿流体

我之前就听说过牛顿流体非牛顿流体之类的东西，但是一直不知道这个到底是啥…
不过现在知道了，牛顿流体就是指黏性应力和速度变形率成正比的流体。
但是这里不能直接用速度梯度 \(\nabla\mathbf u\)，因为你想，难道你把一瓶水放到一个转盘上转，就会有黏性应力了吗？显然不是，虽然宏观上来看水在转，但是里面水分子相对位置都还是保持不变的呀。
为了消除纯旋转的干扰，我们把矩阵 \(\nabla\mathbf u\) 拆成两部分：

\[\nabla\mathbf{u} = \frac{1}{2}(\nabla\mathbf{u} + (\nabla\mathbf{u})^T) + \frac{1}{2}(\nabla\mathbf{u} - (\nabla\mathbf{u})^T) \]

这样前半部分的对称矩阵就是只记录流体微元的拉伸、压缩和剪切变形了，而后半部分的反对称矩阵才记录流体的纯转动。这两部分相互正交。
由于摩擦力显然和后面一部分无关，所以说牛顿流体假设绑定在了前一部分 \(\mathbf D=\frac{1}{2}(\nabla\mathbf{u} + (\nabla\mathbf{u})^T)\) 上面，这个东西叫做变形率张量。
对于牛顿流体，则有：

\[\tau = 2\mu \mathbf D+\lambda(\nabla\cdot \mathbf u)\mathbf I \]

其中 \(\mu\) 称作动力黏度，\(\lambda\) 是第二黏度系数。

2.2 不可压流体的 Navier-Stokes 方程

如果是不可压流体，则 \(\nabla \cdot \mathbf u =0\)。
则 \(\tau = \mu(\nabla\mathbf{u} + (\nabla\mathbf{u})^T)\)。
如果 \(\mu\) 是常数，那么有：

\[\nabla\cdot \tau=\mu\nabla^2\mathbf u \]

代入上面的牛顿第二定律，得到：

\[\rho\left(\frac{\partial T}{\partial t}+(\mathbf u\cdot\nabla)\mathbf u\right)=-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf u+\rho\mathbf f \]

此即不可压流体的 Navier-Stokes 方程。

To Be Continued...