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语义后承（semantic consequence），句法后承（syntactic consequence），实质蕴含（material implication / material conditional）

作者：罗心澄
链接：https://www.zhihu.com/question/21191299/answer/17469774
来源：知乎
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在数理逻辑系统中没有使用过\Rightarrow，仅在数学证明中使用过。这个符号不是一个标准命题形式语言中的符号。而是一个日常语言中的符号，它的意义是模糊的。

在命题逻辑中，有三个有推出含义的符号容易混淆：
  • 语义后承（semantic consequence），符号是\models（\models）。语义后承在一般情况下是连接一个命题集合和一个命题。如果，在任何一种语义赋值下，只要命题集合\Sigma中的每一个命题都为真，那么\phi就一定为真，那么，我们就说\phi是\Sigma的语义后承，记作\Sigma\models \phi。
  • 句法后承（syntactic consequence），符号是\vdash（\vdash）。句法后承的用法和语义后承类似，也是连接一个命题集合和一个命题，如\Sigma \vdash\phi，表示的是\phi可以通过句法证明的方式从命题集\Sigma中得出。即，存在一个证明，使得每个前提要么是公理，要么是\Sigma中的命题，而证明的结论是\phi。具体来说，一个证明是一个命题序列，其中每个命题要么是公理，要么是前提，要么是由前面的命题通过证明规则得到的。其中最后一个称为结论。
  • 实质蕴含（material implication / material conditional），符号是\rightarrow（\rightarrow） 。实质蕴含是一个命题逻辑中的二元算子，连接的是两个命题。在句法系统中，由 Hilbert 的前两条公理完全刻画，由第三条公理刻画它和否定的关系。[1] 在语义系统中， 我们说\Sigma\models p\rightarrow q当且仅当\Sigma\models q或者\Sigma\models\neg p。就是说，如果一个实质蕴含条件句成立，就是说，前件（上面的 p）为真的情况下，后件（上面的 q）不可能为假。[2]

除此之外没有别的常用的，并且经过形式定义的符号。至于\Rightarrow，其实就是单纯表示推出，这种推出是没有严格定义的，一般情况下在简单的数学系统中，由于系统的强完全性和强可靠性[3]，句法后承和语义后承等价，那么这时推出就同时都是两种推出。但是，据我看到 wiki 中的说法， \Rightarrow只表示逻辑后承，但是没有具体区分是语义后承还是句法后承，所以对于完全性和可靠性不成立的系统，这个符号就是模糊的。

当然，前面的语义后承和句法后承也不是数理逻辑系统中的符号，这是元语言符号。并且，在句法系统中不谈论真假，在语义系统中不谈论证明。

当然，在不同的符号系统中，逻辑学家可能会采用\supset来替代\rightarrow（实质蕴涵），用\cup替代\vee（或者），用\cap替代\wedge（且），用\sim替代\neg（非，否定）。但是我不太清楚到底哪些人是用\Rightarrow来表示什么。

[1] Hilbert 的公理系统可以写作三个公理模式加一个规则：
(\mathcal{A}\rightarrow(\mathcal{B}\rightarrow\mathcal{A}))
((\mathcal{A}\rightarrow(\mathcal{B}\rightarrow \mathcal{C}))\rightarrow((\mathcal{A}\rightarrow \mathcal{B})\rightarrow(\mathcal{A}\rightarrow\mathcal{C})))
(((\neg\mathcal{A})\rightarrow(\neg\mathcal{B}))\rightarrow(\mathcal{B}\rightarrow\mathcal{A}))
为什么说是公理模式呢？因为这里的\mathcal{A}、\mathcal{B}、\mathcal{C}都是元语言中用来代表合式公式的符号。换而言之，这个系统中有无穷多条公理。
至于推理规则，就只有一个 MP 规则：\phi,\phi\rightarrow\psi\vdash\psi，中间的\vdash表示证明系统中的推出，并且，这里的\phi和\psi也都是元语言中代表合式公式的符号。

这种情况下，如果我们要证明\emptyset\vdash p\rightarrow p（从空集出发能够推出，即表示在系统内可证），那么我们要写出如下命题序列：
  1. p\rightarrow((p\rightarrow p)\rightarrow p)（公理 1）
  2. ( p\rightarrow( (p\rightarrow p)\rightarrow p ))\rightarrow ((p\rightarrow (p \rightarrow p))\rightarrow(p\rightarrow p))（公理 2）
  3. ((p\rightarrow (p \rightarrow p))\rightarrow(p\rightarrow p))（1、2，MP 规则）
  4. p\rightarrow (p \rightarrow p)（公理 1）
  5. p \rightarrow p（4、3，MP 规则）

[2] 但是在语义系统中，如果我们要说明\emptyset\models p\rightarrow p（即，是空集的语义后承，或者说，是永真的）。那么我们只需要说明，由于在 p 为真和 p 为假的情况下，根据实质蕴含算子的语义规则，\Sigma\models p\rightarrow q当且仅当\Sigma\models q或者\Sigma\models\neg p，我们都能得到p\rightarrow p为真。因此，我们会说这个公式是空集的语义后承。

[3] 强完全性：对于任意的公式集合\Sigma，对于任意的公式\phi，如果\Sigma\models \phi，那么\Sigma \vdash\phi 。强可靠性： 对于任意的公式集合\Sigma，对于任意的公式\phi，如果\Sigma \vdash\phi，那么\Sigma\models \phi。而弱完全性是，方式为真的公式都是可证的；弱可靠性是，凡是可证的公式都是为真的。 在有完全性和可靠性的基础上，没有必要在实际运用中区分两种推出。
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编辑于 2013-06-12
 
作者：王晓宇
链接：https://www.zhihu.com/question/21191299/answer/30108436
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“语义后承”的后面是可以接一个命题集合的。只要后面集合中一个命题被满足就行。

下面我说下“=>”的意义。在数理逻辑中，它定义了Sequence这个概念，比如\Gamma \Rightarrow \Delta 就是一个Sequence，其中前后都是有限命题集合。不过它表示一个推理过程，这个过程可能是真，可能是假，要验证一个Sequence的真伪就要用Sequence Calculus进行推导，直到推出的每一个原子命题都为真。具体的推到规则在 中的第一章（命题逻辑）和第四章（谓词逻辑），当然谓词逻辑的推导过程要复杂一些。

另外需要注意的是，这是一个语义上的推倒，只不过在谓词逻辑和命题逻辑中，语义和语法是等价的（在我发的课件中Satz 4.6中描述的完整性）。相应的，要验证一个Sequence Calculus的正确性，只能通过找对应的Interpretation。

还有一个需要强调的是在谓词逻辑上因为\forall和\exists可能存在多中推倒可能，所以只要有一个推导出的全是原子Sequence，那么这个Sequence就是正确的。

最后总结一下，\models是语义上的满足（一定正确的），\vdash是语法上的满足（正确的），\Rightarrow 只是一个推导过程，正确性需要验证。
 

有两个世界，一个是语义世界，一个是语形世界。

前者是语义世界的推倒，后者是语形世界的推导。

举例：将语义世界理解为我们所生活的现实世界，语形世界则可以是一门描述这个现实世界的语言，例如英语，它是一个由字母和语法规则构成的形式系统，两者在个体上的对应体现为现实的苹果和单词“Apple”。


一些重要的定理正是证明这两个世界的对应性，例如，按照英语的字母和语法规则推出单词Dog，则现实世界能够推出有一个实物与其对应，这应该是完全性（记不清楚了）。


作者：杨建
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posted @ 2017-04-25 14:39  stardsd  阅读(3369)  评论(0)  编辑  收藏  举报